Страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

424 а) Несколько человек договорились оплатить экскурсию, разделив её стоимость, 720 р., поровну. Однако в назначенный день на экскурсию пришли на 3 человека меньше, поэтому каждому пришлось заплатить на 40 р. больше, чем предполагалось. Сколько человек участвовало в экскурсии?

б) Одна поездка на автобусе в город и обратно обходится Диме на 30 р. дороже, чем на электричке. У Димы есть 900 р., которые он может потратить на дорогу. Он подсчитал, что, пользуясь электричкой, он может сделать на 1 поездку больше, чем пользуясь автобусом. Найдите стоимость поездки в город и обратно на электричке.

а)

Пусть $x$ — это первоначальное количество человек, которые договорились поехать на экскурсию. Тогда каждый из них должен был заплатить $\frac{720}{x}$ рублей.

По факту на экскурсию пришло на 3 человека меньше, то есть $(x-3)$ человека. Каждому из них пришлось заплатить $\frac{720}{x-3}$ рублей.

Из условия задачи известно, что фактическая плата с человека оказалась на 40 рублей больше, чем предполагалось. Составим уравнение:

$\frac{720}{x-3} - \frac{720}{x} = 40$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 40:

$\frac{18}{x-3} - \frac{18}{x} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{18x - 18(x-3)}{x(x-3)} = 1$

$\frac{18x - 18x + 54}{x^2 - 3x} = 1$

$\frac{54}{x^2 - 3x} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$):

$x^2 - 3x = 54$

$x^2 - 3x - 54 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-3) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как количество человек не может быть отрицательным, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи. Значит, первоначально планировало поехать 9 человек.

Вопрос задачи — сколько человек участвовало в экскурсии. Это количество равно $x-3$.

$9 - 3 = 6$ (человек)

Проверка: Изначально 9 человек должны были заплатить по $720 / 9 = 80$ р. По факту 6 человек заплатили по $720 / 6 = 120$ р. Разница составляет $120 - 80 = 40$ р., что соответствует условию задачи.

Ответ: 6 человек.

б)

Пусть $y$ рублей — стоимость одной поездки в город и обратно на электричке. Тогда стоимость такой же поездки на автобусе составляет $(y+30)$ рублей.

У Димы есть 900 рублей. На эту сумму он может совершить $\frac{900}{y}$ поездок на электричке или $\frac{900}{y+30}$ поездок на автобусе.

По условию, пользуясь электричкой, он может сделать на 1 поездку больше. Составим уравнение:

$\frac{900}{y} - \frac{900}{y+30} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{900(y+30) - 900y}{y(y+30)} = 1$

$\frac{900y + 27000 - 900y}{y^2 + 30y} = 1$

$\frac{27000}{y^2 + 30y} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение (при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq -30$):

$y^2 + 30y = 27000$

$y^2 + 30y - 27000 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27000) = 900 + 108000 = 108900$

$\sqrt{D} = \sqrt{108900} = 330$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-30 + 330}{2 \cdot 1} = \frac{300}{2} = 150$

$y_2 = \frac{-30 - 330}{2 \cdot 1} = \frac{-360}{2} = -180$

Так как стоимость поездки не может быть отрицательной, корень $y_2 = -180$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, стоимость поездки на электричке составляет 150 рублей.

Проверка: Стоимость поездки на электричке — 150 р. Количество поездок: $900 / 150 = 6$. Стоимость поездки на автобусе — $150 + 30 = 180$ р. Количество поездок: $900 / 180 = 5$. Разница в количестве поездок: $6 - 5 = 1$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 150 р.

425 а) Дорога от посёлка Аникеевка до посёлка Баковка состоит из двух участков: 6 км подъёма и 5 км спуска. Велосипедист доехал от Аникеевки до Баковки за 1 ч. Его скорость при подъёме на 12 км/ч меньше, чем при спуске. Найдите скорость велосипедиста при подъёме и при спуске.

б) Пешеход прошёл путь от Баковки до Аникеевки (см. задачу а)) за 2 ч 40 мин. Его скорость при спуске на 3 км/ч больше, чем при подъёме. За какое время пешеход пройдёт обратный путь?

Указание. Обозначьте буквой $x$ скорость пешехода (в км/ч) на одном из участков пути.

а)

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста при подъёме. По условию, его скорость при подъёме на 12 км/ч меньше, чем при спуске, значит, скорость при спуске составляет $(x + 12)$ км/ч.

Дорога от Аникеевки до Баковки состоит из 6 км подъёма и 5 км спуска. Время, которое велосипедист затратил на подъём, равно $t_{подъём} = \frac{s}{v} = \frac{6}{x}$ ч. Время, затраченное на спуск, равно $t_{спуск} = \frac{5}{x+12}$ ч.

Общее время в пути составляет 1 час. Составим и решим уравнение:

$\frac{6}{x} + \frac{5}{x+12} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x+12)$, при условии что $x > 0$.

$6(x+12) + 5x = x(x+12)$

$6x + 72 + 5x = x^2 + 12x$

$11x + 72 = x^2 + 12x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 11x - 72 = 0$

$x^2 + x - 72 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. По теореме Виета, произведение корней равно -72, а их сумма равна -1. Этим числам соответствуют -9 и 8.

$x_1 = -9$ (не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной).

$x_2 = 8$ (удовлетворяет условию).

Таким образом, скорость велосипедиста при подъёме равна 8 км/ч.

Найдём его скорость при спуске:

$8 + 12 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста при подъёме — 8 км/ч, при спуске — 20 км/ч.

б)

Пешеход идёт из Баковки в Аникеевку. Это обратное направление по сравнению с движением велосипедиста. Следовательно, для пешехода подъём составляет 5 км (то, что для велосипедиста было спуском), а спуск — 6 км (то, что было подъёмом).

Общее время в пути пешехода: 2 ч 40 мин. Переведём это время в часы: $2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3}$ ч.

Следуя указанию, обозначим за $x$ км/ч скорость пешехода при подъёме. По условию, его скорость при спуске на 3 км/ч больше, значит, она равна $(x + 3)$ км/ч.

Составим уравнение, исходя из времени, затраченного на путь из Баковки в Аникеевку:

$\frac{5}{x} + \frac{6}{x+3} = \frac{8}{3}$

Приведём уравнение к общему знаменателю $3x(x+3)$, при условии $x > 0$:

$3 \cdot 5(x+3) + 3 \cdot 6x = 8x(x+3)$

$15(x+3) + 18x = 8x^2 + 24x$

$15x + 45 + 18x = 8x^2 + 24x$

$33x + 45 = 8x^2 + 24x$

Приведём к стандартному виду квадратного уравнения:

$8x^2 + 24x - 33x - 45 = 0$

$8x^2 - 9x - 45 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-45) = 81 + 1440 = 1521$

$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 39}{2 \cdot 8} = \frac{9 \pm 39}{16}$

$x_1 = \frac{9+39}{16} = \frac{48}{16} = 3$ (удовлетворяет условию).

$x_2 = \frac{9-39}{16} = -\frac{30}{16}$ (не удовлетворяет условию задачи).

Итак, скорость пешехода при подъёме равна 3 км/ч, а при спуске — $3+3=6$ км/ч.

Теперь найдём время, за которое пешеход пройдёт обратный путь (из Аникеевки в Баковку). На этом пути подъём составит 6 км, а спуск — 5 км.

Время на подъём: $t_{подъём} = \frac{6 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 2$ ч.

Время на спуск: $t_{спуск} = \frac{5 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = \frac{5}{6}$ ч.

Общее время на обратный путь:

$T_{обр} = 2 + \frac{5}{6} = 2\frac{5}{6}$ ч.

Переведём дробную часть в минуты: $\frac{5}{6} \text{ ч} = \frac{5}{6} \cdot 60 \text{ мин} = 50$ мин.

Таким образом, общее время составит 2 часа 50 минут.

Ответ: пешеход пройдёт обратный путь за 2 ч 50 мин.

Решите задачу (426–435).

426 Чтобы проехать 36 км по просёлочной дороге и 9 км по шоссе, велосипедисту потребуется на 1 ч больше, чем если бы он ехал всё это расстояние по шоссе. Скорость велосипедиста по шоссе на 6 км/ч больше его скорости по просёлочной дороге. Найдите скорость велосипедиста по шоссе.

Пусть $v$ км/ч — искомая скорость велосипедиста по шоссе. Тогда его скорость по просёлочной дороге, согласно условию, составляет $v - 6$ км/ч.

Время, которое велосипедист затратит, чтобы проехать 36 км по просёлочной дороге и 9 км по шоссе, вычисляется как сумма времени на каждом участке: $$ T_1 = \frac{36}{v-6} + \frac{9}{v} \text{ ч} $$

Общее расстояние составляет $36 + 9 = 45$ км. Если бы велосипедист ехал всё это расстояние по шоссе со скоростью $v$ км/ч, он бы затратил время: $$ T_2 = \frac{45}{v} \text{ ч} $$

По условию задачи, на первый маршрут (смешанный) требуется на 1 час больше, чем на второй (только по шоссе). На основании этого составим уравнение: $$ T_1 = T_2 + 1 $$ $$ \frac{36}{v-6} + \frac{9}{v} = \frac{45}{v} + 1 $$

Для решения уравнения сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями: $$ \frac{36}{v-6} = \left(\frac{45}{v} - \frac{9}{v}\right) + 1 $$ $$ \frac{36}{v-6} = \frac{36}{v} + 1 $$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $v$ в левую часть: $$ \frac{36}{v-6} - \frac{36}{v} = 1 $$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v(v-6)$. Область допустимых значений переменной $v$: $v \neq 0$ и $v \neq 6$. $$ \frac{36v - 36(v-6)}{v(v-6)} = 1 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{36v - 36v + 216}{v^2 - 6v} = 1 $$ $$ \frac{216}{v^2 - 6v} = 1 $$

Из этого равенства следует, что $v^2 - 6v = 216$. Перенесем 216 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ v^2 - 6v - 216 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900 $$ Найдем корни уравнения: $$ v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{6 \pm 30}{2} $$ Получаем два возможных значения для скорости: $$ v_1 = \frac{6 + 30}{2} = \frac{36}{2} = 18 $$ $$ v_2 = \frac{6 - 30}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

Так как скорость является физической величиной и не может быть отрицательной, корень $v_2 = -12$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, единственное верное решение — $v = 18$. Это значение удовлетворяет области допустимых значений.

Таким образом, скорость велосипедиста по шоссе составляет 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

427 Из города в посёлок, расстояние до которого 40 км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости автобуса, поэтому он пришёл в посёлок на 40 мин раньше автобуса. Какова скорость автобуса?

Пусть скорость автобуса равна $x$ км/ч. Тогда скорость автомобиля, которая на 30 км/ч больше, будет равна $(x + 30)$ км/ч. Расстояние от города до посёлка составляет 40 км.

Время, которое затратил на путь автобус, можно найти по формуле $t = S/v$. Для автобуса это $t_{автобуса} = \frac{40}{x}$ часов.

Время, которое затратил на путь автомобиль, составляет $t_{автомобиля} = \frac{40}{x+30}$ часов.

По условию задачи, автомобиль пришёл в посёлок на 40 минут раньше автобуса. Переведем разницу во времени в часы: 40 минут = $\frac{40}{60}$ часа = $\frac{2}{3}$ часа. Это означает, что время автобуса в пути было на $\frac{2}{3}$ часа больше, чем время автомобиля. Составим уравнение:

$t_{автобуса} - t_{автомобиля} = \frac{2}{3}$

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x+30} = \frac{2}{3}$

Для решения разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить вычисления:

$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+30} = \frac{1}{3}$

Приведём левую часть к общему знаменателю $x(x+30)$:

$\frac{20(x+30) - 20x}{x(x+30)} = \frac{1}{3}$

$\frac{20x + 600 - 20x}{x^2 + 30x} = \frac{1}{3}$

$\frac{600}{x^2 + 30x} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$x^2 + 30x = 600 \cdot 3$

$x^2 + 30x = 1800$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 30x - 1800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Теперь найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, скорость автобуса равна 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

428 Из города А в город В, расстояние между которыми 140 км, выехал поезд. В середине пути он был задержан на 24 мин, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в город В без опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Общее расстояние между городами А и В составляет 140 км. Поезд был задержан на середине пути, то есть после того, как проехал расстояние $S_1 = \frac{140}{2} = 70$ км. Оставшаяся часть пути $S_2$ также равна 70 км.

Время задержки составляет 24 минуты. Для использования в расчетах со скоростью в км/ч, переведем минуты в часы: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$

По условию, поезд прибыл в город В без опоздания. Это означает, что время, потерянное на остановке, было скомпенсировано за счет увеличения скорости на второй половине пути. Другими словами, время, которое поезд сэкономил на втором участке, равно времени задержки.

Время, которое поезд потратил бы на вторую половину пути (70 км) с первоначальной скоростью $v$, равно $t_{план} = \frac{70}{v}$ ч.

На второй половине пути скорость поезда была увеличена на 20 км/ч и стала равна $v + 20$ км/ч. Фактическое время, затраченное на этот участок, составило $t_{факт} = \frac{70}{v + 20}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем равна времени задержки. Составим уравнение: $t_{план} - t_{факт} = \frac{2}{5}$
$\frac{70}{v} - \frac{70}{v + 20} = \frac{2}{5}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 20)$: $\frac{70(v + 20) - 70v}{v(v + 20)} = \frac{2}{5}$
Раскроем скобки в числителе: $\frac{70v + 1400 - 70v}{v^2 + 20v} = \frac{2}{5}$
$\frac{1400}{v^2 + 20v} = \frac{2}{5}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $2(v^2 + 20v) = 1400 \cdot 5$
$2v^2 + 40v = 7000$

Разделим обе части уравнения на 2 и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения ($ax^2 + bx + c = 0$): $v^2 + 20v = 3500$
$v^2 + 20v - 3500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $v = \frac{-20 \pm \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 120}{2}$

Уравнение имеет два корня: $v_1 = \frac{-20 + 120}{2} = \frac{100}{2} = 50$
$v_2 = \frac{-20 - 120}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -70$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.