Номер 426, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 426, страница 173.

Решите задачу (426–435).

426 Чтобы проехать 36 км по просёлочной дороге и 9 км по шоссе, велосипедисту потребуется на 1 ч больше, чем если бы он ехал всё это расстояние по шоссе. Скорость велосипедиста по шоссе на 6 км/ч больше его скорости по просёлочной дороге. Найдите скорость велосипедиста по шоссе.

Пусть $v$ км/ч — искомая скорость велосипедиста по шоссе. Тогда его скорость по просёлочной дороге, согласно условию, составляет $v - 6$ км/ч.

Время, которое велосипедист затратит, чтобы проехать 36 км по просёлочной дороге и 9 км по шоссе, вычисляется как сумма времени на каждом участке: $$ T_1 = \frac{36}{v-6} + \frac{9}{v} \text{ ч} $$

Общее расстояние составляет $36 + 9 = 45$ км. Если бы велосипедист ехал всё это расстояние по шоссе со скоростью $v$ км/ч, он бы затратил время: $$ T_2 = \frac{45}{v} \text{ ч} $$

По условию задачи, на первый маршрут (смешанный) требуется на 1 час больше, чем на второй (только по шоссе). На основании этого составим уравнение: $$ T_1 = T_2 + 1 $$ $$ \frac{36}{v-6} + \frac{9}{v} = \frac{45}{v} + 1 $$

Для решения уравнения сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями: $$ \frac{36}{v-6} = \left(\frac{45}{v} - \frac{9}{v}\right) + 1 $$ $$ \frac{36}{v-6} = \frac{36}{v} + 1 $$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $v$ в левую часть: $$ \frac{36}{v-6} - \frac{36}{v} = 1 $$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v(v-6)$. Область допустимых значений переменной $v$: $v \neq 0$ и $v \neq 6$. $$ \frac{36v - 36(v-6)}{v(v-6)} = 1 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{36v - 36v + 216}{v^2 - 6v} = 1 $$ $$ \frac{216}{v^2 - 6v} = 1 $$

Из этого равенства следует, что $v^2 - 6v = 216$. Перенесем 216 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ v^2 - 6v - 216 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900 $$ Найдем корни уравнения: $$ v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{6 \pm 30}{2} $$ Получаем два возможных значения для скорости: $$ v_1 = \frac{6 + 30}{2} = \frac{36}{2} = 18 $$ $$ v_2 = \frac{6 - 30}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

Так как скорость является физической величиной и не может быть отрицательной, корень $v_2 = -12$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, единственное верное решение — $v = 18$. Это значение удовлетворяет области допустимых значений.

Таким образом, скорость велосипедиста по шоссе составляет 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.