Номер 430, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 430, страница 174.

430 Фирма получила заказ сшить к определённому сроку 60 костюмов. Подсчитав, каким должен быть ежедневный объём работы, мастер решил, что мастерская может шить на один костюм в день больше. В этом случае вся работа будет закончена на 3 дня раньше срока. За сколько дней требовалось выполнить заказ?

Пусть $t$ – это количество дней, за которое требовалось выполнить заказ по первоначальному плану.

Тогда плановая ежедневная производительность (объем работы) составляет $\frac{60}{t}$ костюмов в день.

По условию, мастерская решила шить на 1 костюм в день больше, значит, фактическая ежедневная производительность составила $(\frac{60}{t} + 1)$ костюмов в день.

В этом случае вся работа будет выполнена на 3 дня раньше срока, то есть за $(t - 3)$ дня.

Общий объем работы (60 костюмов) равен произведению фактической производительности на фактическое время. Составим уравнение: $$( \frac{60}{t} + 1 ) \cdot (t - 3) = 60$$

Для решения уравнения приведем выражение в первых скобках к общему знаменателю: $$ \frac{60 + t}{t} \cdot (t - 3) = 60 $$

Умножим обе части уравнения на $t$ (при условии, что $t \ne 0$, что логично, так как $t$ — это срок выполнения заказа): $$ (60 + t)(t - 3) = 60t $$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $$ 60 \cdot t - 60 \cdot 3 + t \cdot t - t \cdot 3 = 60t $$ $$ 60t - 180 + t^2 - 3t = 60t $$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ t^2 + 60t - 3t - 180 - 60t = 0 $$ $$ t^2 - 3t - 180 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=-3$, $c=-180$. $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 $$

Найдем корни уравнения по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15 $$ $$ t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

Корень $t_2 = -12$ не имеет физического смысла, так как количество дней не может быть отрицательным. Следовательно, единственный подходящий корень — это $t = 15$.

Таким образом, по плану на выполнение заказа требовалось 15 дней.

Ответ: 15