Номер 429, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 429, страница 174.

429 Товарный поезд был задержан в пути на 21 мин, но на перегоне длиной 70 км он наверстал время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите скорость поезда в начале пути и на перегоне.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $v$ (км/ч) — это первоначальная скорость поезда, то есть скорость в начале пути.

Согласно условию, на перегоне длиной 70 км поезд увеличил свою скорость на 10 км/ч, чтобы наверстать время задержки. Таким образом, его новая скорость на этом участке составила $(v + 10)$ км/ч.

Задержка составила 21 минуту. Переведем это время в часы для согласованности единиц измерения: $21 \text{ мин} = \frac{21}{60} \text{ ч} = \frac{7}{20} \text{ ч}$.

Время, которое поезд должен был затратить на прохождение перегона в 70 км по расписанию (с первоначальной скоростью), вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{70}{v}$ ч.

Фактическое время, которое поезд затратил на этот же перегон с увеличенной скоростью, равно $t_2 = \frac{S}{v+10} = \frac{70}{v+10}$ ч.

Поезд наверстал 21 минуту, это означает, что разница между плановым и фактическим временем движения по перегону составляет как раз $\frac{7}{20}$ часа. На основании этого составим уравнение: $t_1 - t_2 = \frac{7}{20}$ $\frac{70}{v} - \frac{70}{v+10} = \frac{7}{20}$

Приступим к решению уравнения. Для упрощения разделим обе его части на 7: $\frac{10}{v} - \frac{10}{v+10} = \frac{1}{20}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$: $\frac{10(v+10) - 10v}{v(v+10)} = \frac{1}{20}$ $\frac{10v + 100 - 10v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{20}$ $\frac{100}{v^2 + 10v} = \frac{1}{20}$

Используем свойство пропорции (правило перекрестного умножения): $1 \cdot (v^2 + 10v) = 100 \cdot 20$ $v^2 + 10v = 2000$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 10v - 2000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$ $\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $v_1 = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40$ $v_2 = \frac{-10 - 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Скорость поезда не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -50$ не является решением задачи. Следовательно, искомая первоначальная скорость поезда $v$ равна 40 км/ч.

Скорость поезда в начале пути

Первоначальная скорость поезда, которую мы обозначили как $v$, составляет 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Скорость поезда на перегоне

На перегоне поезд увеличил скорость на 10 км/ч. Его скорость на этом участке была: $40 \text{ км/ч} + 10 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

Ответ: 50 км/ч.