Номер 434, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 434, страница 174.

434 На первые и вторые премии в конкурсе студенческих дипломных работ было выделено 15 000 р., причём 40% этих денег пошло на первые премии. Вторых премий было выдано на 4 больше, чем первых. Сколько студентов получили первые премии и сколько вторые, если известно, что вторая премия составила 50% первой?

1. Определение призовых фондов для каждой премии

Сначала найдем, какая сумма денег была выделена на первые и вторые премии в отдельности от общего фонда в $15\ 000$ рублей.

Сумма на первые премии: 40% от $15\ 000$ р.

$15\ 000 \cdot \frac{40}{100} = 15\ 000 \cdot 0,4 = 6\ 000$ рублей.

Сумма на вторые премии: оставшаяся часть денег.

$15\ 000 - 6\ 000 = 9\ 000$ рублей.

2. Составление системы уравнений

Введем переменные:

• Пусть $x$ — количество студентов, получивших первые премии.
• Пусть $y$ — количество студентов, получивших вторые премии.
• Пусть $p_1$ — размер одной первой премии в рублях.
• Пусть $p_2$ — размер одной второй премии в рублях.

Основываясь на условиях задачи, составим уравнения:

1. Вторых премий было выдано на 4 больше, чем первых: $y = x + 4$.

2. Вторая премия составила 50% первой: $p_2 = 0,5 \cdot p_1$.

3. Общая сумма, выплаченная за первые премии: $x \cdot p_1 = 6\ 000$.

4. Общая сумма, выплаченная за вторые премии: $y \cdot p_2 = 9\ 000$.

3. Решение системы уравнений

Теперь решим полученную систему. Подставим выражения для $y$ и $p_2$ из уравнений (1) и (2) в уравнение (4):

$(x + 4) \cdot (0,5 \cdot p_1) = 9\ 000$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $x$ и $p_1$:

$\begin{cases} x \cdot p_1 = 6\ 000 \\ (x + 4) \cdot 0,5 \cdot p_1 = 9\ 000 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $p_1$:

$p_1 = \frac{6\ 000}{x}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x + 4) \cdot 0,5 \cdot \left(\frac{6\ 000}{x}\right) = 9\ 000$

Упростим левую часть:

$(x + 4) \cdot \frac{3\ 000}{x} = 9\ 000$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$ (количество студентов не может быть нулевым, поэтому $x \neq 0$):

$(x + 4) \cdot 3\ 000 = 9\ 000 \cdot x$

Разделим обе части на 3000 для упрощения вычислений:

$x + 4 = 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$4 = 3x - x$

$4 = 2x$

$x = \frac{4}{2} = 2$

Итак, количество студентов, получивших первые премии, равно 2.

4. Нахождение количества студентов, получивших вторые премии

Теперь найдем количество студентов, получивших вторые премии, используя уравнение $y = x + 4$:

$y = 2 + 4 = 6$

Количество студентов, получивших вторые премии, равно 6.

Ответ: Первые премии получили 2 студента, вторые премии получили 6 студентов.