Номер 440, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 440, страница 182.

440 Среди данных уравнений найдите уравнения параболы, гиперболы, окружности, прямой:

1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$;

2) $xy = -4$;

3) $y + 2x = 6$;

4) $4 - 2xy = 0$;

5) $x^2 + y^2 = 25$;

6) $x^2 - x - y = 0$;

7) $3y - 6 = 0$;

8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$.

Постройте график каждого уравнения.

Сначала проведем классификацию данных уравнений по типам кривых.

Уравнения параболы:

• 1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$
• 6) $x^2 - x - y = 0$

Уравнения гиперболы:

• 2) $xy = -4$
• 4) $4 - 2xy = 0$

Уравнения окружности:

• 5) $x^2 + y^2 = 25$
• 8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$

Уравнения прямой:

• 3) $y + 2x = 6$
• 7) $3y - 6 = 0$

---

Теперь проанализируем и построим график для каждого уравнения.

1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:
$\frac{1}{3}y = x^2 - 2$
$y = 3x^2 - 6$
Это уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=3, b=0, c=-6$. Следовательно, это парабола.

Построение графика:

• Так как коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 3} = 0$
  $y_0 = 3(0)^2 - 6 = -6$
  Вершина находится в точке $(0, -6)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось $Oy$).
• Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции), приравняв $y$ к нулю:
  $3x^2 - 6 = 0 \implies 3x^2 = 6 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
  Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.
• Для большей точности найдем еще пару точек: при $x = 2, y = 3(2)^2 - 6 = 12 - 6 = 6$. Точка $(2, 6)$. при $x = -2, y = 3(-2)^2 - 6 = 12 - 6 = 6$. Точка $(-2, 6)$.
• График — парабола с вершиной в $(0, -6)$, ветвями вверх, проходящая через точки $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$, $(2, 6)$ и $(-2, 6)$.

Ответ: парабола.

2) $xy = -4$

Преобразуем уравнение: $y = -\frac{4}{x}$.
Это уравнение вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=-4$. Следовательно, это гипербола.

Построение графика:

• Так как $k = -4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
• Асимптоты гиперболы — оси координат: прямая $x=0$ (ось $Oy$) и прямая $y=0$ (ось $Ox$).
• Найдем несколько точек для построения каждой ветви:
  • Для IV четверти: $(1, -4), (2, -2), (4, -1)$.
  • Для II четверти: $(-1, 4), (-2, 2), (-4, 1)$.
• График — гипербола, состоящая из двух ветвей во второй и четвертой четвертях, симметричных относительно начала координат и приближающихся к осям.

Ответ: гипербола.

3) $y + 2x = 6$

Преобразуем уравнение: $y = -2x + 6$.
Это уравнение вида $y = kx + b$, где $k=-2, b=6$. Следовательно, это прямая.

Построение графика:

• Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат.
• Пересечение с осью $Oy$: при $x=0, y = -2(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
• Пересечение с осью $Ox$: при $y=0, 0 = -2x + 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$. Точка $(3, 0)$.
• Проводим прямую линию через точки $(0, 6)$ и $(3, 0)$.

Ответ: прямая.

4) $4 - 2xy = 0$

Преобразуем уравнение: $2xy = 4 \implies xy = 2 \implies y = \frac{2}{x}$.
Это уравнение вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=2$. Следовательно, это гипербола.

Построение графика:

• Так как $k = 2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
• Асимптоты гиперболы — оси координат: $x=0$ и $y=0$.
• Найдем несколько точек:
  • Для I четверти: $(1, 2), (2, 1), (0.5, 4)$.
  • Для III четверти: $(-1, -2), (-2, -1), (-0.5, -4)$.
• График — гипербола, состоящая из двух ветвей в первой и третьей четвертях, симметричных относительно начала координат.

Ответ: гипербола.

5) $x^2 + y^2 = 25$

Уравнение уже представлено в каноническом виде для окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.
В данном случае $x^2 + y^2 = 5^2$, где $a=0, b=0, R=5$. Следовательно, это окружность.

Построение графика:

• Центр окружности находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Радиус окружности $R=5$.
• График — окружность с центром в $(0, 0)$, проходящая через точки $(5, 0), (-5, 0), (0, 5)$ и $(0, -5)$.

Ответ: окружность.

6) $x^2 - x - y = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $y$: $y = x^2 - x$.
Это уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=-1, c=0$. Следовательно, это парабола.

Построение графика:

• Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$
  $y_0 = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$
  Вершина находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.
• Ось симметрии — прямая $x = \frac{1}{2}$.
• Найдем точки пересечения с осями:
  • С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 0^2 - 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
  • С осью $Ox$ (при $y=0$): $x^2 - x = 0 \implies x(x-1)=0 \implies x=0$ или $x=1$. Точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$.
• График — парабола с вершиной в $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$, ветвями вверх, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: парабола.

7) $3y - 6 = 0$

Преобразуем уравнение: $3y = 6 \implies y = 2$.
Это уравнение прямой, параллельной оси $Ox$. Его можно записать в виде $y=kx+b$ как $y=0 \cdot x + 2$.

Построение графика:

• Это горизонтальная прямая, у всех точек которой ордината (координата $y$) равна 2.
• Прямая проходит через точку $(0, 2)$ и параллельна оси $Ox$.

Ответ: прямая.

8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$

Преобразуем уравнение: $x^2 + y^2 = 9 \implies x^2 + y^2 = 3^2$.
Это каноническое уравнение окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ с параметрами $a=0, b=0, R=3$.

Построение графика:

• Центр окружности находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Радиус окружности $R=3$.
• График — окружность с центром в $(0, 0)$, проходящая через точки $(3, 0), (-3, 0), (0, 3)$ и $(0, -3)$.

Ответ: окружность.