Номер 446, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 446, страница 184.

Решите систему уравнений способом подстановки, воспользовавшись в качестве образца примером 3 (446–448).

446 a)

$$ \begin{cases} x + y = -11 \\ xy = -12 \end{cases} $$

б)

$$ \begin{cases} xz = -14 \\ x - z = 9 \end{cases} $$

в)

$$ \begin{cases} u + v = 12 \\ 2uv = 70 \end{cases} $$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -11, \\ xy = -12. \end{cases} $

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = -11 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x(-11 - x) = -12$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:

$-11x - x^2 = -12$

$x^2 + 11x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 13}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 13}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Мы нашли два возможных значения для $x$. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение $y$, используя выражение $y = -11 - x$:

1) Если $x_1 = -12$, то $y_1 = -11 - (-12) = -11 + 12 = 1$.

2) Если $x_2 = 1$, то $y_2 = -11 - 1 = -12$.

Таким образом, система имеет два решения, которые представляют собой пары чисел $(x; y)$.

Ответ: $(-12; 1)$, $(1; -12)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xz = -14, \\ x - z = 9. \end{cases} $

Выразим переменную $x$ из второго уравнения, так как это проще всего:

$x = 9 + z$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(9 + z)z = -14$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$9z + z^2 = -14$

$z^2 + 9z + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $z$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 = 5^2$

Найдем корни уравнения:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь для каждого найденного значения $z$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 9 + z$:

1) Если $z_1 = -7$, то $x_1 = 9 + (-7) = 2$.

2) Если $z_2 = -2$, то $x_2 = 9 + (-2) = 7$.

Система имеет два решения в виде пар чисел $(x; z)$.

Ответ: $(2; -7)$, $(7; -2)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} u + v = 12, \\ 2uv = 70. \end{cases} $

Сначала можно упростить второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$uv = 35$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} u + v = 12, \\ uv = 35. \end{cases} $

Выразим переменную $u$ из первого уравнения:

$u = 12 - v$

Подставим это выражение для $u$ во второе (упрощенное) уравнение:

$(12 - v)v = 35$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$12v - v^2 = 35$

$v^2 - 12v + 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $v$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4 = 2^2$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$v_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь для каждого значения $v$ найдем соответствующее значение $u$ по формуле $u = 12 - v$:

1) Если $v_1 = 5$, то $u_1 = 12 - 5 = 7$.

2) Если $v_2 = 7$, то $u_2 = 12 - 7 = 5$.

Система имеет два решения в виде пар чисел $(u; v)$.

Ответ: $(7; 5)$, $(5; 7)$.