Номер 444, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Уравнения и системы уравнений. 3.5. Системы уравнений с двумя переменными - номер 444, страница 184.

Условие.

444 Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = 0 \\ xy = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y + x^2 = 4 \\ y - x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y - x = 0 \\ y = 4x - x^2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для решения системы $ \begin{cases} x - y = 0 \\ xy = 4 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Первое уравнение, $x - y = 0$, можно переписать как $y = x$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат (0, 0) и, например, через точки (2, 2) и (-2, -2).

2. Второе уравнение, $xy = 4$, можно переписать как $y = \frac{4}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах. Ось абсцисс и ось ординат являются асимптотами для этой гиперболы. Для построения можно взять точки: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1).

Построив оба графика, мы ищем точки их пересечения. Видно, что графики пересекаются в двух точках. Координаты точек пересечения являются решениями системы. Из графика находим, что это точки с координатами (2, 2) и (-2, -2).

Ответ: (2, 2), (-2, -2).

б)

Рассмотрим систему $ \begin{cases} y + x^2 = 4 \\ y - x = 2 \end{cases} $ . Преобразуем уравнения для построения графиков.

1. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4 - x^2$ или $y = -x^2 + 4$. Это уравнение параболы. Ее ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0, 4). Парабола пересекает ось $x$ в точках, где $y=0$, то есть $-x^2 + 4 = 0$, откуда $x = 2$ и $x = -2$.

2. Из второго уравнения также выразим $y$: $y = x + 2$. Это уравнение прямой. Для построения найдем две точки. Если $x=0$, то $y=2$ (точка (0, 2)). Если $y=0$, то $x=-2$ (точка (-2, 0)).

Построим графики параболы $y = -x^2 + 4$ и прямой $y = x + 2$ в одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков будут решениями системы. Из графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты: (-2, 0) и (1, 3).

Ответ: (-2, 0), (1, 3).

в)

Решим графически систему $ \begin{cases} y - x = 0 \\ y = 4x - x^2 \end{cases} $ .

1. Первое уравнение, $y - x = 0$, эквивалентно $y = x$. Это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси абсцисс, биссектриса I и III координатных четвертей.

2. Второе уравнение, $y = 4x - x^2$ или $y = -x^2 + 4x$, задает параболу с ветвями, направленными вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. Тогда $y_в = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$. Вершина находится в точке (2, 4). Парабола пересекает ось $x$ в точках, где $y=0$: $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4-x)=0$, то есть в точках (0, 0) и (4, 0).

Построим графики прямой $y=x$ и параболы $y = -x^2 + 4x$. Точки пересечения этих двух графиков и будут решением системы. Одна точка пересечения очевидна — это начало координат (0, 0). Вторая точка пересечения, как видно из графика, имеет координаты (3, 3).

Ответ: (0, 0), (3, 3).