Номер 437, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 437, страница 175.

Решите задачу (437–439).

437 Коля и Миша, работая вместе, выполнили сортировку газет за 4 мин. Коля может выполнить это задание на 6 мин быстрее Миши. За сколько минут Коля выполнит это задание, работая один?

437.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это время в минутах, за которое Коля может выполнить всю работу по сортировке газет, работая один.

Согласно условию, Коля выполняет это задание на 6 минут быстрее Миши. Это означает, что Мише для выполнения той же работы в одиночку требуется на 6 минут больше времени. Следовательно, время Миши составляет $(x + 6)$ минут.

Примем всю работу за единицу (1). Тогда производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за одну минуту. Производительность Коли равна $P_К = \frac{1}{x}$, а производительность Миши — $P_М = \frac{1}{x+6}$.

Когда они работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность $P_{совм}$ равна: $P_{совм} = P_К + P_М = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$

Известно, что работая вместе, они выполнили всю работу за 4 минуты. Работа равна произведению совместной производительности на время: $1 = P_{совм} \times 4$

Подставим в это уравнение выражение для совместной производительности и составим уравнение: $1 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}\right) \times 4$

Теперь решим полученное уравнение. Разделим обе части на 4: $\frac{1}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(x+6)$: $\frac{1}{4} = \frac{x+6+x}{x(x+6)}$
$\frac{1}{4} = \frac{2x+6}{x^2+6x}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей: $1 \cdot (x^2+6x) = 4 \cdot (2x+6)$
$x^2 + 6x = 8x + 24$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 6x - 8x - 24 = 0$
$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$
$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательной величиной. Поэтому корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, единственное верное решение — $x=6$.

Таким образом, Коля выполнит задание за 6 минут, работая один.

Ответ: 6 минут.