Номер 442, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 442, страница 182.

442 Решите систему уравнений графически, пользуясь рисунком 3.14. Проверьте свой ответ, выполнив подстановку:

a) $ \begin{cases} x^2 - y = 8 \\ y + x = -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy = 12 \\ y + 6 = 2; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ x + y = 6. \end{cases} $

a) $y - x = 3$

$y + 2x = -3$

б) $2y - x = 6$

$2y - x = -4$

в) $y + 2x = 4$

Рис. 3.13

a) $x^2 - y = 8$

$y + x = -2$

б) $xy = 12$

$y + 6 = 2$

в) $y + x = 6$

$x^2 + y^2 = 20$

Рис. 3.14

a) Решим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 - y = 8 \\y + x = -2\end{cases}$

Графическое решение: На рисунке 3.14 а) изображены графики уравнений системы: парабола $y = x^2 - 8$ и прямая $y = -x - 2$. Графики пересекаются в двух точках. Судя по рисунку, координаты этих точек: $(-3, 1)$ и $(2, -4)$.

Проверка подстановкой: Выразим $y$ из второго уравнения: $y = -x - 2$. Подставим в первое уравнение:

$x^2 - (-x - 2) = 8$

$x^2 + x + 2 = 8$

$x^2 + x - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения, найденные по теореме Виета или через дискриминант: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x = 2$, то $y = -2 - 2 = -4$.

Если $x = -3$, то $y = -(-3) - 2 = 1$.

Решения, полученные алгебраически, $(2, -4)$ и $(-3, 1)$, совпадают с найденными по графику.

Ответ: $(-3, 1), (2, -4)$.

б) Решим систему уравнений:$\begin{cases}xy = 12 \\y + 6 = 2\end{cases}$

Графическое решение: На рисунке 3.14 б) изображены графики уравнений системы: гипербола $y = \frac{12}{x}$ и прямая, которую можно преобразовать к виду $y = -4$. Графики пересекаются в одной точке. Судя по рисунку, ее координаты $(-3, -4)$.

Проверка подстановкой: Из второго уравнения $y + 6 = 2$ находим $y$: $y = 2 - 6 = -4$. Подставим это значение в первое уравнение:

$x \cdot (-4) = 12$

$-4x = 12$

$x = -3$

Решение, полученное алгебраически, $(-3, -4)$, совпадает с найденным по графику.

Ответ: $(-3, -4)$.

в) Решим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 20 \\x + y = 6\end{cases}$

Графическое решение: На рисунке 3.14 в) изображены графики уравнений системы: окружность $x^2 + y^2 = 20$ с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{20}$, и прямая $y = 6 - x$. Графики пересекаются в двух точках. Судя по рисунку, координаты этих точек: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Проверка подстановкой: Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 6 - x$. Подставим в первое уравнение:

$x^2 + (6 - x)^2 = 20$

$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 20$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2: $x^2 - 6x + 8 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения, найденные по теореме Виета или через дискриминант: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x = 2$, то $y = 6 - 2 = 4$.

Если $x = 4$, то $y = 6 - 4 = 2$.

Решения, полученные алгебраически, $(2, 4)$ и $(4, 2)$, совпадают с найденными по графику.

Ответ: $(2, 4), (4, 2)$.