Номер 447, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 447, страница 184.

447 a) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\x - y = 1;\end{cases}$

Б) $\begin{cases}2x - y = 9 \\x^2 - y^2 = 15;\end{cases}$

В) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 101 \\x + y = 11;\end{cases}$

Г) $\begin{cases}x^2 - xy = 10 \\3x + y = 3;\end{cases}$

Д) $\begin{cases}x - y = 1 \\x^2 + 2xy = 40;\end{cases}$

e) $\begin{cases}x^2 - y^2 = 64 \\3x + 5y = 0.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 1)^2 + y^2 = 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5$

$2y^2 + 2y - 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$y_1 = 1$, $y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x = y + 1$:

1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.

2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$.

Таким образом, система имеет два решения: $(2, 1)$ и $(-1, -2)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-1, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 9 \\ x^2 - y^2 = 15 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2x - 9$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - (2x - 9)^2 = 15$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - (4x^2 - 36x + 81) = 15$

$x^2 - 4x^2 + 36x - 81 = 15$

$-3x^2 + 36x - 96 = 0$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x^2 - 12x + 32 = 0$

Решим квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x - 9$:

1. Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2(4) - 9 = 8 - 9 = -1$.

2. Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 2(8) - 9 = 16 - 9 = 7$.

Система имеет два решения: $(4, -1)$ и $(8, 7)$.

Ответ: $(4, -1)$, $(8, 7)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 101 \\ x + y = 11 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 11 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (11 - x)^2 = 101$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 121 - 22x + x^2 = 101$

$2x^2 - 22x + 121 - 101 = 0$

$2x^2 - 22x + 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 11x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 10$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 11 - x$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 11 - 1 = 10$.

2. Если $x_2 = 10$, то $y_2 = 11 - 10 = 1$.

Система имеет два решения: $(1, 10)$ и $(10, 1)$.

Ответ: $(1, 10)$, $(10, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy = 10 \\ 3x + y = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 3 - 3x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - x(3 - 3x) = 10$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 3x + 3x^2 = 10$

$4x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4(4)(-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 13}{8}$

$x_1 = \frac{3 + 13}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 13}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 3 - 3x$:

1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3$.

2. Если $x_2 = -\frac{5}{4}$, то $y_2 = 3 - 3(-\frac{5}{4}) = 3 + \frac{15}{4} = \frac{12}{4} + \frac{15}{4} = \frac{27}{4}$.

Система имеет два решения: $(2, -3)$ и $(-\frac{5}{4}, \frac{27}{4})$.

Ответ: $(2, -3)$, $(-\frac{5}{4}, \frac{27}{4})$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + 2xy = 40 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 1 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(1 + y)^2 + 2(1 + y)y = 40$

Раскроем скобки и упростим:

$(1 + 2y + y^2) + (2y + 2y^2) = 40$

$3y^2 + 4y + 1 = 40$

$3y^2 + 4y - 39 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 4^2 - 4(3)(-39) = 16 + 468 = 484 = 22^2$

$y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{484}}{2(3)} = \frac{-4 \pm 22}{6}$

$y_1 = \frac{-4 + 22}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-4 - 22}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 1 + y$:

1. Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 1 + 3 = 4$.

2. Если $y_2 = -\frac{13}{3}$, то $x_2 = 1 + (-\frac{13}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{13}{3} = -\frac{10}{3}$.

Система имеет два решения: $(4, 3)$ и $(-\frac{10}{3}, -\frac{13}{3})$.

Ответ: $(4, 3)$, $(-\frac{10}{3}, -\frac{13}{3})$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 64 \\ 3x + 5y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$:

$3x = -5y \Rightarrow x = -\frac{5}{3}y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(-\frac{5}{3}y)^2 - y^2 = 64$

Упростим полученное уравнение:

$\frac{25}{9}y^2 - y^2 = 64$

$(\frac{25}{9} - 1)y^2 = 64$

$(\frac{25 - 9}{9})y^2 = 64$

$\frac{16}{9}y^2 = 64$

Выразим $y^2$:

$y^2 = 64 \cdot \frac{9}{16} = 4 \cdot 9 = 36$

Отсюда находим значения $y$:

$y_1 = 6$, $y_2 = -6$

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = -\frac{5}{3}y$:

1. Если $y_1 = 6$, то $x_1 = -\frac{5}{3}(6) = -10$.

2. Если $y_2 = -6$, то $x_2 = -\frac{5}{3}(-6) = 10$.

Система имеет два решения: $(-10, 6)$ и $(10, -6)$.

Ответ: $(-10, 6)$, $(10, -6)$.