Номер 454, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 454, страница 185.

454 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 - y + 2 = 0 \\ xy + 4 = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - y - 2 = 0 \\ x^3 - y = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 2x + y = 0 \\ \sqrt{x} - y = 0 \end{cases}$

а)

Для решения системы графически преобразуем каждое уравнение к виду функции $y(x)$:

$ \begin{cases} x^2 - y + 2 = 0 \\ xy + 4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2 + 2 \\ y = -4/x \end{cases} $

Теперь построим графики этих двух функций в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$, а ветви направлены вверх.

2. График функции $y = -4/x$ — это гипербола. Так как коэффициент отрицательный, ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Построим графики. Решениями системы являются координаты точек пересечения этих графиков.

Из графика видно, что кривые пересекаются в одной точке, расположенной во II координатной четверти. Для проверки определим значения функций в нескольких точках с целыми абсциссами:
При $x = -1$: парабола $y = (-1)^2 + 2 = 3$; гипербола $y = -4/(-1) = 4$.
При $x = -2$: парабола $y = (-2)^2 + 2 = 6$; гипербола $y = -4/(-2) = 2$.
Поскольку при $x=-2$ парабола выше гиперболы ($6 > 2$), а при $x=-1$ гипербола выше параболы ($4 > 3$), точка пересечения находится между $x = -2$ и $x = -1$. Графический метод не всегда позволяет найти точное решение, если оно не является целочисленным. В данном случае мы можем констатировать, что система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение $(x_0, y_0)$, где $-2 < x_0 < -1$.

б)

Преобразуем уравнения системы:

$ \begin{cases} x^2 - y - 2 = 0 \\ x^3 - y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2 - 2 \\ y = x^3 \end{cases} $

Построим графики функций в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$, ветви направлены вверх.

2. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.

Построим графики и найдем точки их пересечения.

Из графика видно, что кривые пересекаются в одной точке. Визуально можно предположить, что это точка с координатами $(-1, -1)$. Выполним проверку, подставив эти значения в оба уравнения:
Для первого уравнения: $y = x^2 - 2 \implies -1 = (-1)^2 - 2 \implies -1 = 1 - 2 \implies -1 = -1$. Верно.
Для второго уравнения: $y = x^3 \implies -1 = (-1)^3 \implies -1 = -1$. Верно.
Следовательно, точка $(-1, -1)$ является решением системы.

Ответ: $(-1, -1)$.

в)

Преобразуем уравнения системы:

$ \begin{cases} x^2 - 2x + y = 0 \\ \sqrt{x} - y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -x^2 + 2x \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что область допустимых значений для $x$ есть $x \ge 0$.

Построим графики функций в одной системе координат для $x \ge 0$.

1. График функции $y = -x^2 + 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины: $x_v = -b/(2a) = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$; $y_v = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1$. Вершина в точке $(1, 1)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=2$.

2. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, которая начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

Построим графики и найдем точки их пересечения.

Из графика видно, что кривые пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Это точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Проверим точку $(0, 0)$:
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$
$y = \sqrt{0} = 0$
Верно.
Проверим точку $(1, 1)$:
$y = -1^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$
$y = \sqrt{1} = 1$
Верно.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.