Номер 453, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 453, страница 185.

453 С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ x - 2y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y + \sqrt{x} = 0 \\ y + x + 1 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = |x| \\ y = x^2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} |x| + y = 0 \\ x^2 - y = 1; \end{cases}$

д) $\begin{cases} xy = 8 \\ y - x^3 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} xy = -1 \\ x^3 - y = 0. \end{cases}$

Для определения количества решений каждой системы уравнений построим графики функций и найдем количество точек их пересечения.

а)Система уравнений:$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ x - 2y = 2 \end{cases} $

Первое уравнение $y = \sqrt{x}$ задает график функции квадратного корня. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

Второе уравнение $x - 2y = 2$ является линейным. Преобразуем его к виду $y = f(x)$:$2y = x - 2$$y = \frac{1}{2}x - 1$Это прямая с угловым коэффициентом $k=1/2$ и пересечением с осью $y$ в точке (0, -1). Для построения прямой найдем еще одну точку, например, при $y=0$ имеем $x=2$. Прямая проходит через точки (0, -1) и (2, 0).

Построим оба графика в одной системе координат. Видно, что прямая пересекает ветвь параболы в одной точке.

Ответ: 1 решение.

б)Система уравнений:$ \begin{cases} y + \sqrt{x} = 0 \\ y + x + 1 = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения системы к виду $y=f(x)$:Первое уравнение: $y = -\sqrt{x}$. График этой функции — ветвь параболы, симметричная графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Ox. Она расположена в четвертой координатной четверти и проходит через точки (0, 0), (1, -1), (4, -2).

Второе уравнение: $y = -x - 1$. Это прямая, проходящая через точки (0, -1) и (-1, 0).

Построим графики в одной системе координат. График $y = -\sqrt{x}$ начинается в точке (0,0), а прямая $y = -x - 1$ проходит ниже, через точку (0, -1). Так как кривая $y = -\sqrt{x}$ "выполаживается" медленнее, чем убывает прямая, графики не пересекаются.

Ответ: нет решений.

в)Система уравнений:$ \begin{cases} y = |x| \\ y = x^2 \end{cases} $

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, являющихся биссектрисами первого ($y=x$) и второго ($y=-x$) координатных углов, с общей вершиной в точке (0, 0).

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.

Оба графика симметричны относительно оси Oy. Они очевидно пересекаются в начале координат (0, 0). Для нахождения других точек пересечения решим систему. При $x \ge 0$, имеем $y=x$ и $y=x^2$, откуда $x^2 = x \Rightarrow x(x-1)=0$. Решения: $x=0$ и $x=1$. Это дает точки (0, 0) и (1, 1). В силу симметрии относительно оси Oy, есть еще одна точка пересечения при $x=-1$, а именно (-1, 1).Таким образом, графики пересекаются в трех точках.

Ответ: 3 решения.

г)Система уравнений:$ \begin{cases} |x| + y = 0 \\ x^2 - y = 1 \end{cases} $

Преобразуем уравнения:Первое уравнение: $y = -|x|$. График — "перевернутая галочка" с вершиной в точке (0, 0).Второе уравнение: $y = x^2 - 1$. График — парабола, смещенная на 1 единицу вниз по оси Oy. Ее вершина находится в точке (0, -1).

Оба графика симметричны относительно оси Oy. В точке $x=0$ график $y=-|x|$ находится выше ($y=0$), чем график $y=x^2-1$ ($y=-1$). При увеличении $|x|$ ветви параболы $y=x^2-1$ уходят вверх и пересекают лучи графика $y=-|x|$.Рассмотрим $x \ge 0$. Система принимает вид $y=-x$ и $y=x^2-1$. Приравнивая, получаем уравнение $x^2-1=-x \Rightarrow x^2+x-1=0$. Это уравнение имеет один положительный корень $x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.Так как есть одна точка пересечения с положительной абсциссой, в силу симметрии будет и одна точка пересечения с отрицательной абсциссой. Всего две точки пересечения.

Ответ: 2 решения.

д)Система уравнений:$ \begin{cases} xy = 8 \\ y - x^3 = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения: $y = 8/x$ и $y = x^3$.График $y = 8/x$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.График $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат и также расположенная в первой и третьей четвертях.

Обе функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат.В первой четверти ($x>0$) кубическая парабола $y=x^3$ возрастает от 0 до $+\infty$, а гипербола $y=8/x$ убывает от $+\infty$ до 0. Следовательно, их графики обязательно пересекутся, причем ровно в одной точке.В силу симметрии относительно начала координат, графики также пересекутся ровно в одной точке в третьей четверти ($x<0$).Всего получается две точки пересечения.

Ответ: 2 решения.

е)Система уравнений:$ \begin{cases} xy = -1 \\ x^3 - y = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения: $y = -1/x$ и $y = x^3$.График $y = -1/x$ — это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.График $y = x^3$ — это кубическая парабола, расположенная в первой и третьей четвертях.

Графики этих функций находятся в разных координатных четвертях. Единственная точка, которая могла бы быть общей — это начало координат, но оно не принадлежит графику гиперболы (так как деление на ноль не определено). Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: нет решений.