Номер 457, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 457, страница 186.

457 Решите систему уравнений, воспользовавшись в качестве образца примером 4:

а) $\begin{cases} xy = -4 \\ x^2 + y^2 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = -10. \end{cases}$

Для решения данных систем уравнений воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Эти тождества позволяют свести исходную систему к более простым системам линейных уравнений.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = -4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $

1. Найдем значение $(x+y)^2$, используя известные значения $x^2+y^2$ и $xy$:

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 8 + 2(-4) = 8 - 8 = 0$

Отсюда следует, что $x+y = 0$.

2. Теперь найдем значение $(x-y)^2$:

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 8 - 2(-4) = 8 + 8 = 16$

Отсюда следует, что $x-y = 4$ или $x-y = -4$.

3. Теперь решим две системы линейных уравнений:

Случай 1:

$ \begin{cases} x+y = 0 \\ x-y = 4 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим: $2x = 4$, откуда $x=2$.

Подставим $x=2$ в первое уравнение: $2+y=0$, откуда $y=-2$.

Получили решение: $(2, -2)$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x+y = 0 \\ x-y = -4 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим: $2x = -4$, откуда $x=-2$.

Подставим $x=-2$ в первое уравнение: $-2+y=0$, откуда $y=2$.

Получили решение: $(-2, 2)$.

Ответ: $(2, -2), (-2, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = -10 \end{cases} $

1. Найдем значение $(x+y)^2$:

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 29 + 2(-10) = 29 - 20 = 9$

Отсюда следует, что $x+y = 3$ или $x+y = -3$.

2. Найдем значение $(x-y)^2$:

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 29 - 2(-10) = 29 + 20 = 49$

Отсюда следует, что $x-y = 7$ или $x-y = -7$.

3. Теперь решим четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные значения:

Случай 1:

$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 7 \end{cases} $

Складываем уравнения: $2x = 10 \implies x=5$. Подставляем в первое уравнение: $5+y=3 \implies y=-2$. Решение: $(5, -2)$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -7 \end{cases} $

Складываем уравнения: $2x = -4 \implies x=-2$. Подставляем в первое уравнение: $-2+y=3 \implies y=5$. Решение: $(-2, 5)$.

Случай 3:

$ \begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = 7 \end{cases} $

Складываем уравнения: $2x = 4 \implies x=2$. Подставляем в первое уравнение: $2+y=-3 \implies y=-5$. Решение: $(2, -5)$.

Случай 4:

$ \begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -7 \end{cases} $

Складываем уравнения: $2x = -10 \implies x=-5$. Подставляем в первое уравнение: $-5+y=-3 \implies y=2$. Решение: $(-5, 2)$.

Ответ: $(5, -2), (-2, 5), (2, -5), (-5, 2)$.