Номер 463, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 463, страница 187.

463 a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy - y = 1 \\ xy + x = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy + x^2 = 1 \\ xy - x^2 = \frac{1}{2}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y + xy = -6 \\ x + y - xy = 10. \end{cases}$

Указание. Воспользуйтесь методом сложения.

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения, как указано в задании. Сложим первое и второе уравнения системы:
$ (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 25 + 7 $
$ 2x^2 = 32 $
$ x^2 = 16 $
Отсюда находим возможные значения для $x$: $ x = 4 $ или $ x = -4 $.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$ (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 25 - 7 $
$ 2y^2 = 18 $
$ y^2 = 9 $
Отсюда находим возможные значения для $y$: $ y = 3 $ или $ y = -3 $.
Поскольку в уравнения входят только $x^2$ и $y^2$, любая комбинация полученных значений $x$ и $y$ будет решением системы. Таким образом, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(4, 3), (4, -3), (-4, 3), (-4, -3)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy - y = 1 \\ xy + x = 4 \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения (в данном случае, вычитания). Вычтем первое уравнение из второго:
$ (xy + x) - (xy - y) = 4 - 1 $
$ x + y = 3 $
Из этого уравнения выразим $y$ через $x$: $ y = 3 - x $.
Теперь подставим это выражение в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$ x(3 - x) - (3 - x) = 1 $
$ 3x - x^2 - 3 + x = 1 $
Приведем подобные члены и перенесем все в одну часть:
$ -x^2 + 4x - 4 = 0 $
Умножим уравнение на $-1$:
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
Это полный квадрат:
$ (x - 2)^2 = 0 $
Отсюда $ x = 2 $.
Найдем соответствующее значение $y$:
$ y = 3 - x = 3 - 2 = 1 $.
Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: $(2, 1)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy + x^2 = 1 \\ xy - x^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $
Используем метод сложения. Сложим два уравнения:
$ (xy + x^2) + (xy - x^2) = 1 + \frac{1}{2} $
$ 2xy = \frac{3}{2} $
$ xy = \frac{3}{4} $.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$ (xy + x^2) - (xy - x^2) = 1 - \frac{1}{2} $
$ 2x^2 = \frac{1}{2} $
$ x^2 = \frac{1}{4} $
Отсюда $ x = \frac{1}{2} $ или $ x = -\frac{1}{2} $.
Найдем соответствующие значения $y$, используя полученное ранее соотношение $xy = \frac{3}{4}$, или $y = \frac{3}{4x}$.
1. Если $ x = \frac{1}{2} $, то $ y = \frac{3}{4 \cdot (\frac{1}{2})} = \frac{3}{2} $.
2. Если $ x = -\frac{1}{2} $, то $ y = \frac{3}{4 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{3}{2} $.
Система имеет две пары решений.
Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}), (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y + xy = -6 \\ x + y - xy = 10 \end{cases} $
Применим метод сложения. Сложим оба уравнения:
$ (x + y + xy) + (x + y - xy) = -6 + 10 $
$ 2x + 2y = 4 $
$ 2(x + y) = 4 $
$ x + y = 2 $.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$ (x + y + xy) - (x + y - xy) = -6 - 10 $
$ 2xy = -16 $
$ xy = -8 $.
Таким образом, мы получили новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ xy = -8 \end{cases} $
По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим найденные значения суммы и произведения:
$ t^2 - 2t - 8 = 0 $.
Решим это квадратное уравнение. Можно найти корни подбором: $t_1 = 4, t_2 = -2$. (Проверка: $4+(-2)=2$, $4 \cdot (-2)=-8$).
Это означает, что переменные $x$ и $y$ принимают эти значения. Если $x=4$, то $y=-2$, и наоборот, если $x=-2$, то $y=4$.
Ответ: $(4, -2), (-2, 4)$.