Номер 468, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 468, страница 189.

468 a) Стройплощадка имеет форму прямоугольника. Длина ограждения вокруг стройплощадки 120 м, а её площадь равна 800 м$^2$. Найдите стороны стройплощадки.

б) Сад заложен на участке прямоугольной формы. Площадь участка равна 700 м$^2$, а одна из его сторон на 15 м длиннее другой. Найдите стороны участка.

а)

Пусть стороны прямоугольной стройплощадки равны $a$ и $b$ метров. Длина ограждения — это периметр прямоугольника, а его площадь задана в условии.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

По условию задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} 2(a + b) = 120 \\ a \cdot b = 800 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим сумму сторон:

$a + b = \frac{120}{2}$

$a + b = 60$

Выразим одну переменную через другую, например, $a$ через $b$:

$a = 60 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(60 - b) \cdot b = 800$

$60b - b^2 = 800$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$b^2 - 60b + 800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

$D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 3600 - 3200 = 400$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни уравнения (значения стороны $b$):

$b_1 = \frac{-(-60) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$b_2 = \frac{-(-60) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{60 - 20}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Если одна сторона $b_1 = 40$ м, то вторая сторона $a_1 = 60 - 40 = 20$ м.

Если одна сторона $b_2 = 20$ м, то вторая сторона $a_2 = 60 - 20 = 40$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны стройплощадки равны 20 м и 40 м.

Ответ: стороны стройплощадки равны 20 м и 40 м.

б)

Пусть одна сторона прямоугольного участка равна $x$ метров. По условию, другая сторона на 15 м длиннее, то есть ее длина составляет $(x + 15)$ метров.

Площадь прямоугольного участка вычисляется как произведение его сторон: $S = x(x + 15)$.

По условию, площадь участка равна 700 м². Составим уравнение:

$x(x + 15) = 700$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 15x = 700$

$x^2 + 15x - 700 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 225 + 2800 = 3025$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$.

Найдем корни уравнения (значения стороны $x$):

$x_1 = \frac{-15 + 55}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-15 - 55}{2 \cdot 1} = \frac{-70}{2} = -35$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -35$ не является решением задачи. Следовательно, одна сторона участка равна 20 м.

Найдем вторую сторону:

$x + 15 = 20 + 15 = 35$ м.

Таким образом, стороны участка равны 20 м и 35 м.

Ответ: стороны участка равны 20 м и 35 м.