Номер 465, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 465, страница 187.

465 Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $A(0; 3)$, $B(-1; 0)$ и $C(1; 4)$.

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку $M(4; -5)$; точку $N(-4; -5)$.

2) Запишите уравнение прямой, которая пересекает параболу в точках $B$ и $C$.

Для решения задачи сначала необходимо найти уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, используя координаты точек, через которые она проходит: A(0; 3), B(-1; 0) и C(1; 4).

Подставим координаты каждой точки в уравнение параболы, чтобы получить систему уравнений для коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Для точки A(0; 3):
$3 = a \cdot (0)^2 + b \cdot (0) + c \implies c = 3$

Для точки B(-1; 0):
$0 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \implies 0 = a - b + c$
Подставив $c=3$, получаем: $a - b = -3$

Для точки C(1; 4):
$4 = a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c \implies 4 = a + b + c$
Подставив $c=3$, получаем: $a + b = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a - b = -3 \\ a + b = 1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(a - b) + (a + b) = -3 + 1$, что дает $2a = -2$, и отсюда $a = -1$.

Подставим значение $a = -1$ во второе уравнение: $-1 + b = 1$, откуда $b = 2$.

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$. Уравнение параболы: $y = -x^2 + 2x + 3$.

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку M(4; -5); точку N(-4; -5).

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты в уравнение.

Для точки M(4; -5):
Подставляем $x = 4$ в уравнение параболы: $y = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5$.
Так как полученное значение $y = -5$ совпадает с ординатой точки M, парабола проходит через точку M.

Для точки N(-4; -5):
Подставляем $x = -4$ в уравнение параболы: $y = -(-4)^2 + 2(-4) + 3 = -16 - 8 + 3 = -21$.
Полученное значение $y = -21$ не совпадает с ординатой точки N, равной -5. Следовательно, парабола не проходит через точку N.

Ответ: парабола проходит через точку M(4; -5) и не проходит через точку N(-4; -5).

2) Запишите уравнение прямой, которая пересекает параболу в точках B и C.

Требуется найти уравнение прямой, проходящей через две точки: B(-1; 0) и C(1; 4). Уравнение прямой имеет вид $y = kx + m$.

Сначала найдем угловой коэффициент (наклон) прямой $k$:
$k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - 0}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь уравнение прямой имеет вид $y = 2x + m$. Для нахождения $m$ подставим координаты одной из точек, например, C(1; 4):
$4 = 2(1) + m$
$4 = 2 + m$
$m = 2$

Итак, уравнение искомой прямой: $y = 2x + 2$.

Ответ: $y = 2x + 2$.