Номер 467, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 467, страница 189.

467 Существуют ли два числа, таких, что:

a) их сумма равна 10, а произведение равно -24;

б) их разность равна 2, а произведение равно -4?

а) их сумма равна 10, а произведение равно -24;

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, мы имеем систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 10 \\ x \cdot y = -24 \end{cases} $$ Согласно обратной теореме Виета, числа, сумма и произведение которых известны, являются корнями квадратного уравнения. Составим такое уравнение, где искомые числа будут его корнями. Пусть это будет уравнение вида $t^2 + pt + q = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x+y = -p$, а произведение $x \cdot y = q$.

Из наших условий $x+y=10$ и $x \cdot y = -24$, получаем $p = -10$ и $q = -24$. Таким образом, искомые числа являются корнями следующего квадратного уравнения: $$t^2 - 10t - 24 = 0$$ Чтобы определить, существуют ли такие действительные числа, найдем дискриминант $D$ этого уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$$ Поскольку $D = 196 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, такие числа существуют. Найдем эти числа, решив уравнение: $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 14}{2}$$ Корни уравнения: $$t_1 = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$t_2 = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Проверим найденные числа: их сумма $12 + (-2) = 10$, а их произведение $12 \cdot (-2) = -24$. Условия задачи выполнены.

Ответ: да, существуют. Это числа 12 и -2.

б) их разность равна 2, а произведение равно -4?

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, мы имеем систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x \cdot y = -4 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $$x = y + 2$$ Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$(y + 2) \cdot y = -4$$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$: $$y^2 + 2y = -4$$ $$y^2 + 2y + 4 = 0$$ Чтобы определить, существуют ли такие действительные числа, найдем дискриминант $D$ полученного квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$$ Поскольку дискриминант $D = -12 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует двух действительных чисел, разность и произведение которых удовлетворяли бы заданным условиям.

Ответ: нет, таких действительных чисел не существует.