Номер 469, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 469, страница 189.

469 Имеется 84 фишки. Можно ли выложить их на столе одинаковыми рядами так, чтобы:

а) рядов было на 3 меньше, чем фишек в каждом ряду;

б) рядов было на 5 больше, чем фишек в каждом ряду?

Пусть $r$ — количество рядов, а $c$ — количество фишек в каждом ряду. Общее количество фишек равно произведению количества рядов на количество фишек в ряду. По условию задачи общее количество фишек равно 84. Таким образом, мы имеем уравнение:

$r \times c = 84$

Где $r$ и $c$ должны быть натуральными числами, так как они представляют количество рядов и фишек.

а) рядов было на 3 меньше, чем фишек в каждом ряду;

Согласно этому условию, количество рядов $r$ связано с количеством фишек в ряду $c$ следующим соотношением:

$r = c - 3$

Подставим это выражение в наше основное уравнение $r \times c = 84$:

$(c - 3) \times c = 84$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$c^2 - 3c = 84$

$c^2 - 3c - 84 = 0$

Чтобы найти $c$, решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-84) = 9 + 336 = 345$

Для того чтобы корень уравнения был целым числом, дискриминант должен быть полным квадратом. Однако $\sqrt{345}$ не является целым числом (так как $18^2 = 324$ и $19^2 = 361$). Это означает, что решения для $c$ не будут целыми числами. Поскольку количество фишек в ряду должно быть натуральным числом, мы приходим к выводу, что выложить фишки согласно данному условию невозможно.

Альтернативный способ решения — перебор делителей числа 84. Нам нужно найти два натуральных числа $r$ и $c$, произведение которых равно 84, и при этом $c - r = 3$. Рассмотрим все пары множителей числа 84:

• $1 \times 84$, разность $84-1=83$
• $2 \times 42$, разность $42-2=40$
• $3 \times 28$, разность $28-3=25$
• $4 \times 21$, разность $21-4=17$
• $6 \times 14$, разность $14-6=8$
• $7 \times 12$, разность $12-7=5$

Ни одна из пар множителей не имеет разность 3. Следовательно, такое расположение невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

б) рядов было на 5 больше, чем фишек в каждом ряду?

По этому условию, количество рядов $r$ на 5 больше количества фишек в ряду $c$:

$r = c + 5$

Подставим это выражение в основное уравнение $r \times c = 84$:

$(c + 5) \times c = 84$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:

$c^2 + 5c = 84$

$c^2 + 5c - 84 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = 5^2 - 4 \times 1 \times (-84) = 25 + 336 = 361$

Дискриминант является полным квадратом: $\sqrt{361} = 19$. Теперь найдем корни уравнения по формуле $c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$c_1 = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$c_2 = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку количество фишек в ряду ($c$) не может быть отрицательным, единственное подходящее решение — $c=7$.

Теперь найдем количество рядов $r$:

$r = c + 5 = 7 + 5 = 12$

Мы получили, что можно выложить 12 рядов по 7 фишек в каждом. Проверим: общее число фишек $12 \times 7 = 84$. Количество рядов (12) действительно на 5 больше количества фишек в ряду (7). Все условия соблюдены.

Ответ: да, можно. Например, выложить 12 рядов по 7 фишек в каждом.