Страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

467 Существуют ли два числа, таких, что:

a) их сумма равна 10, а произведение равно -24;

б) их разность равна 2, а произведение равно -4?

а) их сумма равна 10, а произведение равно -24;

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, мы имеем систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 10 \\ x \cdot y = -24 \end{cases} $$ Согласно обратной теореме Виета, числа, сумма и произведение которых известны, являются корнями квадратного уравнения. Составим такое уравнение, где искомые числа будут его корнями. Пусть это будет уравнение вида $t^2 + pt + q = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x+y = -p$, а произведение $x \cdot y = q$.

Из наших условий $x+y=10$ и $x \cdot y = -24$, получаем $p = -10$ и $q = -24$. Таким образом, искомые числа являются корнями следующего квадратного уравнения: $$t^2 - 10t - 24 = 0$$ Чтобы определить, существуют ли такие действительные числа, найдем дискриминант $D$ этого уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$$ Поскольку $D = 196 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, такие числа существуют. Найдем эти числа, решив уравнение: $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 14}{2}$$ Корни уравнения: $$t_1 = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$t_2 = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Проверим найденные числа: их сумма $12 + (-2) = 10$, а их произведение $12 \cdot (-2) = -24$. Условия задачи выполнены.

Ответ: да, существуют. Это числа 12 и -2.

б) их разность равна 2, а произведение равно -4?

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, мы имеем систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x \cdot y = -4 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $$x = y + 2$$ Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$(y + 2) \cdot y = -4$$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$: $$y^2 + 2y = -4$$ $$y^2 + 2y + 4 = 0$$ Чтобы определить, существуют ли такие действительные числа, найдем дискриминант $D$ полученного квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$$ Поскольку дискриминант $D = -12 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует двух действительных чисел, разность и произведение которых удовлетворяли бы заданным условиям.

Ответ: нет, таких действительных чисел не существует.

468 a) Стройплощадка имеет форму прямоугольника. Длина ограждения вокруг стройплощадки 120 м, а её площадь равна 800 м$^2$. Найдите стороны стройплощадки.

б) Сад заложен на участке прямоугольной формы. Площадь участка равна 700 м$^2$, а одна из его сторон на 15 м длиннее другой. Найдите стороны участка.

а)

Пусть стороны прямоугольной стройплощадки равны $a$ и $b$ метров. Длина ограждения — это периметр прямоугольника, а его площадь задана в условии.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

По условию задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} 2(a + b) = 120 \\ a \cdot b = 800 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим сумму сторон:

$a + b = \frac{120}{2}$

$a + b = 60$

Выразим одну переменную через другую, например, $a$ через $b$:

$a = 60 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(60 - b) \cdot b = 800$

$60b - b^2 = 800$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$b^2 - 60b + 800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

$D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 3600 - 3200 = 400$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни уравнения (значения стороны $b$):

$b_1 = \frac{-(-60) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$b_2 = \frac{-(-60) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{60 - 20}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Если одна сторона $b_1 = 40$ м, то вторая сторона $a_1 = 60 - 40 = 20$ м.

Если одна сторона $b_2 = 20$ м, то вторая сторона $a_2 = 60 - 20 = 40$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны стройплощадки равны 20 м и 40 м.

Ответ: стороны стройплощадки равны 20 м и 40 м.

б)

Пусть одна сторона прямоугольного участка равна $x$ метров. По условию, другая сторона на 15 м длиннее, то есть ее длина составляет $(x + 15)$ метров.

Площадь прямоугольного участка вычисляется как произведение его сторон: $S = x(x + 15)$.

По условию, площадь участка равна 700 м². Составим уравнение:

$x(x + 15) = 700$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 15x = 700$

$x^2 + 15x - 700 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 225 + 2800 = 3025$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$.

Найдем корни уравнения (значения стороны $x$):

$x_1 = \frac{-15 + 55}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-15 - 55}{2 \cdot 1} = \frac{-70}{2} = -35$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -35$ не является решением задачи. Следовательно, одна сторона участка равна 20 м.

Найдем вторую сторону:

$x + 15 = 20 + 15 = 35$ м.

Таким образом, стороны участка равны 20 м и 35 м.

Ответ: стороны участка равны 20 м и 35 м.

469 Имеется 84 фишки. Можно ли выложить их на столе одинаковыми рядами так, чтобы:

а) рядов было на 3 меньше, чем фишек в каждом ряду;

б) рядов было на 5 больше, чем фишек в каждом ряду?

Пусть $r$ — количество рядов, а $c$ — количество фишек в каждом ряду. Общее количество фишек равно произведению количества рядов на количество фишек в ряду. По условию задачи общее количество фишек равно 84. Таким образом, мы имеем уравнение:

$r \times c = 84$

Где $r$ и $c$ должны быть натуральными числами, так как они представляют количество рядов и фишек.

а) рядов было на 3 меньше, чем фишек в каждом ряду;

Согласно этому условию, количество рядов $r$ связано с количеством фишек в ряду $c$ следующим соотношением:

$r = c - 3$

Подставим это выражение в наше основное уравнение $r \times c = 84$:

$(c - 3) \times c = 84$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$c^2 - 3c = 84$

$c^2 - 3c - 84 = 0$

Чтобы найти $c$, решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-84) = 9 + 336 = 345$

Для того чтобы корень уравнения был целым числом, дискриминант должен быть полным квадратом. Однако $\sqrt{345}$ не является целым числом (так как $18^2 = 324$ и $19^2 = 361$). Это означает, что решения для $c$ не будут целыми числами. Поскольку количество фишек в ряду должно быть натуральным числом, мы приходим к выводу, что выложить фишки согласно данному условию невозможно.

Альтернативный способ решения — перебор делителей числа 84. Нам нужно найти два натуральных числа $r$ и $c$, произведение которых равно 84, и при этом $c - r = 3$. Рассмотрим все пары множителей числа 84:

• $1 \times 84$, разность $84-1=83$
• $2 \times 42$, разность $42-2=40$
• $3 \times 28$, разность $28-3=25$
• $4 \times 21$, разность $21-4=17$
• $6 \times 14$, разность $14-6=8$
• $7 \times 12$, разность $12-7=5$

Ни одна из пар множителей не имеет разность 3. Следовательно, такое расположение невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

б) рядов было на 5 больше, чем фишек в каждом ряду?

По этому условию, количество рядов $r$ на 5 больше количества фишек в ряду $c$:

$r = c + 5$

Подставим это выражение в основное уравнение $r \times c = 84$:

$(c + 5) \times c = 84$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:

$c^2 + 5c = 84$

$c^2 + 5c - 84 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = 5^2 - 4 \times 1 \times (-84) = 25 + 336 = 361$

Дискриминант является полным квадратом: $\sqrt{361} = 19$. Теперь найдем корни уравнения по формуле $c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$c_1 = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$c_2 = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку количество фишек в ряду ($c$) не может быть отрицательным, единственное подходящее решение — $c=7$.

Теперь найдем количество рядов $r$:

$r = c + 5 = 7 + 5 = 12$

Мы получили, что можно выложить 12 рядов по 7 фишек в каждом. Проверим: общее число фишек $12 \times 7 = 84$. Количество рядов (12) действительно на 5 больше количества фишек в ряду (7). Все условия соблюдены.

Ответ: да, можно. Например, выложить 12 рядов по 7 фишек в каждом.

470 a) Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, его гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты этого треугольника.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из его катетов больше другого на 17 см. Найдите катеты этого треугольника.

а)

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.
По условию задачи, периметр $P = 24$ см, а гипотенуза $c = 10$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Подставляя известные значения, получаем:
$24 = a + b + 10$
Отсюда находим сумму катетов:
$a + b = 24 - 10 = 14$ см.

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим значение гипотенузы:
$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$.

Мы получили систему уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b = 14 - a$ и подставим во второе уравнение:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$
$a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100$
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$a^2 - 14a + 48 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна 14, а их произведение — 48. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и 8.
Следовательно, $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.
Если один катет равен 6 см, то второй равен $14 - 6 = 8$ см.
Если один катет равен 8 см, то второй равен $14 - 8 = 6$ см.
Значит, длины катетов равны 6 см и 8 см.

Ответ: катеты равны 6 см и 8 см.

б)

Обозначим один катет как $x$ см. По условию, другой катет на 17 см больше, значит его длина $(x + 17)$ см. Гипотенуза равна 25 см.

По теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), составим уравнение:
$x^2 + (x + 17)^2 = 25^2$

Решим это уравнение:
$x^2 + x^2 + 34x + 289 = 625$
$2x^2 + 34x + 289 - 625 = 0$
$2x^2 + 34x - 336 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$x^2 + 17x - 168 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961 = 31^2$
$x_1 = \frac{-17 + \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 + 31}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-17 - \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 - 31}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Длина стороны треугольника не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -24$ не является решением задачи.
Значит, длина одного катета равна 7 см.

Длина второго катета равна $x + 17 = 7 + 17 = 24$ см.

Ответ: катеты равны 7 см и 24 см.

471 а) Периметр прямоугольника 14 см, а длина его диагонали 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

б) Одна из сторон прямоугольника на 2 см короче другой, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

а)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, периметр равен 14 см, следовательно:

$2(a+b) = 14$

$a+b = 7$

Диагональ прямоугольника $d$, вместе со сторонами $a$ и $b$, образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = d^2$. Длина диагонали равна 5 см, значит:

$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a+b = 7 \\ a^2+b^2=25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 7 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (7-a)^2 = 25$

$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$

$2a^2 - 14a + 24 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$a^2 - 7a + 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4.

Если $a = 3$ см, то $b = 7 - 3 = 4$ см.

Если $a = 4$ см, то $b = 7 - 4 = 3$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

б)

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см. По условию, другая сторона на 2 см короче, значит, ее длина равна $(x-2)$ см. Так как длина стороны должна быть положительной, $x > 2$.

Диагональ прямоугольника равна 10 см. Применяя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю, получаем уравнение:

$x^2 + (x-2)^2 = 10^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 100$

$2x^2 - 4x + 4 - 100 = 0$

$2x^2 - 4x - 96 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$x^2 - 2x - 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, произведение корней равно -48, а их сумма равна 2. Корнями являются числа 8 и -6.

$x_1 = 8$, $x_2 = -6$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, одна сторона равна $x = 8$ см. Эта сторона удовлетворяет условию $x > 2$.

Тогда вторая сторона равна $x - 2 = 8 - 2 = 6$ см.

Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

472 a) Начертите план участка прямоугольной формы, в котором отрезок $AB$ (рис. 3.16) — это дорожка, идущая по диагонали участка. Длина дорожки 13 м, а периметр участка равен 34 м. Сколько решений имеет задача?

Рис. 3.16

б) На отрезке $AB$ как на диаметре (рис. 3.17) построена полуокружность. Её радиус равен 10 см. Постройте на полуокружности точку $C$, такую, чтобы расстояние от этой точки до одного из концов диаметра было на 4 см больше, чем расстояние от этой точки до другого конца диаметра. Сколько решений имеет задача?

Рис. 3.17

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны x и y. По условию, периметр участка равен 34 м, а длина диагонали (дорожки), обозначенной как AB, — 13 м.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. Диагональ прямоугольника является гипотенузой для прямоугольного треугольника со катетами x и y. По теореме Пифагора, $x^2 + y^2 = d^2$, где d — диагональ.

Составим систему уравнений на основе данных задачи: $$ \begin{cases} 2(x + y) = 34 \\ x^2 + y^2 = 13^2 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, разделив обе части на 2: $$ x + y = 17 $$ Отсюда выразим y через x: $$ y = 17 - x $$

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ x^2 + (17 - x)^2 = 169 $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + (289 - 34x + x^2) = 169 $$ Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть: $$ 2x^2 - 34x + 289 - 169 = 0 $$ $$ 2x^2 - 34x + 120 = 0 $$ Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $$ x^2 - 17x + 60 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 60. Корнями уравнения являются числа 5 и 12. Таким образом, $x_1 = 5$ и $x_2 = 12$.

Если одна сторона $x = 5$ м, то вторая сторона $y = 17 - 5 = 12$ м.
Если одна сторона $x = 12$ м, то вторая сторона $y = 17 - 12 = 5$ м.

В обоих случаях мы получаем прямоугольник со сторонами 5 м и 12 м. Таким образом, размеры участка определены однозначно.

Чтобы начертить план, необходимо построить прямоугольник по его диагонали AB. Если концы диагонали A и B зафиксированы, то остальные две вершины можно построить по обе стороны от отрезка AB. Это означает, что можно построить два различных прямоугольника, у которых отрезок AB будет служить диагональю.

Ответ: Стороны участка равны 5 м и 12 м. Задача имеет 2 решения для построения плана.

б)

Дана полуокружность, построенная на отрезке AB как на диаметре. Радиус полуокружности равен 10 см, следовательно, длина диаметра $AB = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Требуется построить на этой полуокружности точку C, для которой разница расстояний до концов диаметра A и B составляет 4 см.

Пусть AC и BC — это расстояния от точки C до точек A и B соответственно. Условие можно записать как $|AC - BC| = 4$ см. Это эквивалентно двум возможным случаям:
1) $AC = BC + 4$
2) $BC = AC + 4$

Поскольку точка C лежит на полуокружности с диаметром AB, вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым. Таким образом, треугольник $\triangle ACB$ — прямоугольный, где AB — гипотенуза.

Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle ACB$: $$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $$ $$ AC^2 + BC^2 = 20^2 = 400 $$

Рассмотрим первый случай: $AC = BC + 4$. Подставим это выражение в уравнение Пифагора: $$ (BC + 4)^2 + BC^2 = 400 $$ $$ BC^2 + 8 \cdot BC + 16 + BC^2 = 400 $$ $$ 2 \cdot BC^2 + 8 \cdot BC - 384 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ BC^2 + 4 \cdot BC - 192 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$. Найдем корни уравнения: $$ BC = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 28}{2} $$ Поскольку длина отрезка является положительной величиной, выбираем только положительный корень: $$ BC = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} $$ Тогда, $AC = BC + 4 = 12 + 4 = 16$ см.

Рассмотрение второго случая ($BC = AC + 4$) приведет к симметричному результату: $AC = 12$ см и $BC = 16$ см.

Таким образом, существует два набора расстояний: ($AC=16$, $BC=12$) и ($AC=12$, $BC=16$). Каждому из этих наборов соответствует уникальная точка на полуокружности.

Для построения первой точки C₁, нужно найти пересечение исходной полуокружности и окружности с центром в точке A и радиусом 16 см (или окружности с центром в B и радиусом 12 см). Для построения второй точки C₂, нужно найти пересечение полуокружности и окружности с центром в A и радиусом 12 см (или с центром в B и радиусом 16 см).

Эти две точки-решения будут расположены симметрично относительно перпендикуляра к диаметру AB, проходящего через его центр. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.