Страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

466 Исследуем

1) Система уравнений $\begin{cases}x^2 + y^2 = 4 \\y = x^2 + b,\end{cases}$ где $b$ — произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также не иметь решений. Проиллюстрируйте каждый случай с помощью схематического рисунка. Подберите конкретную систему, соответствующую каждому случаю.

2) Сколько решений может иметь указанная система, если известно, что:

a) $b$ — произвольное положительное число;

б) $b$ — произвольное отрицательное число?

1)

Для анализа количества решений системы уравнений рассмотрим графики каждого уравнения.

$x^2 + y^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

$y = x^2 + b$ — это уравнение параболы, полученной сдвигом параболы $y = x^2$ на $b$ единиц вдоль оси OY. Вершина этой параболы находится в точке $(0, b)$.

Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения окружности и параболы. Варьируя параметр $b$, мы смещаем параболу по вертикали, что изменяет число точек пересечения.

Нет решений (0 решений)

Это происходит, когда парабола и окружность не имеют общих точек. Такое возможно, если парабола расположена целиком выше окружности (её вершина выше верхней точки окружности) или если её вершина находится достаточно низко, а ветви "проходят мимо" окружности.

Это соответствует случаю $b > 2$.

Пример конкретной системы: подберем $b=3$.

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 + 3 \end{cases}$

Схематический рисунок: Окружность с центром в (0,0) и радиусом 2. Парабола с вершиной в точке (0, 3), ветви которой направлены вверх. Графики не пересекаются.

Ответ: При $b=3$ система не имеет решений.

Одно решение

Это происходит, когда парабола касается окружности в одной точке. Такое возможно, только если вершина параболы совпадает с верхней точкой окружности.

Вершина параболы $(0, b)$, верхняя точка окружности $(0, 2)$. Следовательно, $b = 2$.

Пример конкретной системы:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 + 2 \end{cases}$

Единственная точка пересечения (решение) — это $(0, 2)$.

Схематический рисунок: Окружность с центром в (0,0) и радиусом 2. Парабола с вершиной в точке (0, 2), которая касается окружности в этой точке.

Ответ: При $b=2$ система имеет одно решение.

Два решения

Этот случай возможен в двух различных конфигурациях. Одна из них — когда вершина параболы находится внутри окружности, а ветви пересекают окружность в двух точках в её верхней части. Это происходит при $-2 < b < 2$.

Пример конкретной системы: подберем $b=1$.

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 + 1 \end{cases}$

Схематический рисунок: Окружность с центром в (0,0) и радиусом 2. Парабола с вершиной в точке (0, 1). Вершина находится внутри окружности, а ветви пересекают окружность в двух точках.

Ответ: При $b=1$ система имеет два решения.

Три решения

Это происходит, когда вершина параболы касается окружности в её нижней точке, а ветви параболы пересекают окружность ещё в двух точках.

Вершина параболы $(0, b)$, нижняя точка окружности $(0, -2)$. Следовательно, $b = -2$.

Пример конкретной системы:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 - 2 \end{cases}$

Решениями будут точка касания $(0, -2)$ и две точки пересечения $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.

Схематический рисунок: Окружность с центром в (0,0) и радиусом 2. Парабола с вершиной в точке (0, -2), которая касается окружности в этой точке, а ее ветви пересекают окружность еще в двух точках выше.

Ответ: При $b=-2$ система имеет три решения.

Четыре решения

Это происходит, когда вершина параболы находится ниже нижней точки касания $(0, -2)$, но не настолько низко, чтобы ветви прошли мимо окружности. В этом случае парабола пересекает окружность в четырёх точках. Это соответствует значениям $b$ в интервале $-17/4 < b < -2$.

Пример конкретной системы: подберем $b=-3$, так как $-4.25 < -3 < -2$.

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 - 3 \end{cases}$

Схематический рисунок: Окружность с центром в (0,0) и радиусом 2. Парабола с вершиной в точке (0, -3). Вершина находится под окружностью, а ветви пересекают окружность в четырех точках (две в нижней полуплоскости и две в верхней).

Ответ: При $b=-3$ система имеет четыре решения.

2)

a) b — произвольное положительное число

Если $b$ — положительное число ($b > 0$), то возможны следующие ситуации, основанные на анализе из пункта 1:

• Если $0 < b < 2$, система имеет два решения.
• Если $b = 2$, система имеет одно решение.
• Если $b > 2$, система не имеет решений (ноль решений).

Таким образом, для произвольного положительного $b$ возможно 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Система может иметь 0, 1 или 2 решения.

б) b — произвольное отрицательное число

Если $b$ — отрицательное число ($b < 0$), то возможны следующие ситуации:

• Если $-2 < b < 0$, система имеет два решения.
• Если $b = -2$, система имеет три решения.
• Если $-17/4 < b < -2$ (т.е. $-4.25 < b < -2$), система имеет четыре решения.
• Если $b = -17/4 = -4.25$, система имеет два решения (случай двойного касания).
• Если $b < -17/4$, система не имеет решений (ноль решений).

Таким образом, для произвольного отрицательного $b$ возможно 0, 2, 3 или 4 решения.

Ответ: Система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.