Страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

487 Запишите уравнения вида $f(x) = 0$, графические решения которых приведены на рисунке 3.21, а, б. В каждом случае выясните, сколько корней имеет уравнение. Найдите эти корни. Есть ли среди найденных корней точные?

а

На рисунке а изображены графики функций $y = \sqrt{x}$ и прямой, проходящей через точки с координатами $(-4, 0)$ и $(4, 2)$.

Найдем уравнение прямой. Угловой коэффициент $k$ равен:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{4 - (-4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставим координаты точки $(4, 2)$ и значение $k$:

$2 = \frac{1}{4} \cdot 4 + b \Rightarrow 2 = 1 + b \Rightarrow b = 1$.

Таким образом, уравнение прямой: $y = \frac{1}{4}x + 1$.

Графическое решение соответствует нахождению корней уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{4}x + 1$.

Запишем это уравнение в виде $f(x) = 0$:

$\sqrt{x} - \frac{1}{4}x - 1 = 0$.

Для решения возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{4}x + 1$ в квадрат, учитывая, что $x \ge 0$ и $\frac{1}{4}x + 1 \ge 0$ (что верно при $x \ge -4$). Общее условие: $x \ge 0$.

$x = \left(\frac{1}{4}x + 1\right)^2$

$x = \frac{1}{16}x^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x \cdot 1 + 1^2$

$x = \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{2}x + 1$

$\frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{2}x + 1 = 0$

Умножим обе части на 16:

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x-4)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень $x=4$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$. На графике также видна одна точка пересечения. Таким образом, уравнение имеет один корень.

Найденный корень $x=4$ является точным.

Ответ: уравнение: $\sqrt{x} - \frac{1}{4}x - 1 = 0$; уравнение имеет 1 корень; корень $x=4$; корень является точным.

б

На рисунке б изображены графики функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = x^2 - 3$.

Графическое решение соответствует нахождению корней уравнения $-\frac{2}{x} = x^2 - 3$.

Запишем это уравнение в виде $f(x) = 0$:

$x^2 - 3 + \frac{2}{x} = 0$.

Для решения умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):

$-2 = x(x^2 - 3)$

$-2 = x^3 - 3x$

$x^3 - 3x + 2 = 0$.

Из графика видно, что функции пересекаются в двух точках. Определим их абсциссы. Похоже, что корни являются целыми числами. Проверим $x=-2$:

Левая часть: $y = -\frac{2}{-2} = 1$.

Правая часть: $y = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Значит, $x_1 = -2$ — корень уравнения.

Проверим $x=1$:

Левая часть: $y = -\frac{2}{1} = -2$.

Правая часть: $y = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Значит, $x_2 = 1$ — тоже корень уравнения.

Так как мы нашли два корня кубического уравнения, разделим многочлен $x^3 - 3x + 2$ на $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ или воспользуемся тем, что $(x-1)$ и $(x+2)$ являются его множителями. Факторизация многочлена: $(x-1)^2(x+2)=0$.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Оба найденных корня являются точными.

Ответ: уравнение: $x^2 - 3 + \frac{2}{x} = 0$; уравнение имеет 2 корня; корни $x_1 = -2$, $x_2 = 1$; оба корня являются точными.

в

На рисунке в изображены графики функций $y = x^3$ и $y = 3 - 2x$.

Графическое решение соответствует нахождению корней уравнения $x^3 = 3 - 2x$.

Запишем это уравнение в виде $f(x) = 0$:

$x^3 + 2x - 3 = 0$.

На графике видна одна точка пересечения. Ее абсцисса, по-видимому, равна 1. Проверим $x=1$:

$1^3 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

Равенство верное, значит, $x=1$ — корень уравнения.

Чтобы проверить, есть ли другие корни, разделим многочлен $x^3 + 2x - 3$ на $(x-1)$:

$(x^3 + 2x - 3) : (x-1) = x^2 + x + 3$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде $(x-1)(x^2 + x + 3) = 0$.

Это уравнение распадается на два: $x-1 = 0$ или $x^2 + x + 3 = 0$.

Первое уравнение дает корень $x=1$.

Для второго уравнения $x^2 + x + 3 = 0$ найдем дискриминант:

$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.

Так как $\Delta < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень.

Найденный корень $x=1$ является точным.

Ответ: уравнение: $x^3 + 2x - 3 = 0$; уравнение имеет 1 корень; корень $x=1$; корень является точным.

488 Запишите уравнения вида $f(x) = g(x)$, графические решения которых приведены на рисунке 3.22, а, б. В каждом случае найдите корни уравнения.

Для решения этой задачи необходимо видеть графики, представленные на рисунке 3.22, а, б, в. Так как эти изображения отсутствуют, я приведу общий алгоритм решения и примеры, как это могло бы выглядеть.

Общий алгоритм:

1. Определить вид каждой из двух функций, графики которых изображены на рисунке (например, линейная функция $y=kx+b$, квадратичная $y=ax^2+bx+c$, функция корня $y=\sqrt{x}$ и т.д.).
2. Найти уравнения этих функций, $y=f(x)$ и $y=g(x)$, используя характерные точки на графике (точки пересечения с осями, вершина параболы и т.д.).
3. Записать итоговое уравнение вида $f(x)=g(x)$.
4. Найти абсциссы (координаты $x$) всех точек пересечения графиков. Эти значения и являются корнями уравнения.

Ниже представлены решения для каждого пункта на гипотетических примерах.

а)

Предположим, на рисунке 3.22(а) изображены графики параболы и прямой.

1. Пусть один график — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -1)$. Это график функции $f(x) = x^2 - 1$.

2. Второй график — прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(2, 3)$. Угловой коэффициент $k = \frac{3-1}{2-0} = 1$. Уравнение прямой: $g(x) = x + 1$.

3. Составляем уравнение $f(x) = g(x)$: $x^2 - 1 = x + 1$.

4. Находим корни. Из графика видно, что точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Проверим алгебраически:
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.

Ответ: Уравнение: $x^2 - 1 = x + 1$. Корни: $-1; 2$.

б)

Предположим, на рисунке 3.22(б) изображены графики функции квадратного корня и прямой.

1. Пусть один график — это функция квадратного корня, выходящая из начала координат, $f(x) = \sqrt{x}$.

2. Второй график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$. Ее уравнение: $g(x) = 2$.

3. Составляем уравнение $f(x) = g(x)$: $\sqrt{x} = 2$.

4. Находим корень. Из графика видно, что точка пересечения одна, и ее абсцисса равна $x = 4$.
Проверим алгебраически:
$\sqrt{x} = 2$
Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 2^2$
$x = 4$.

Ответ: Уравнение: $\sqrt{x} = 2$. Корень: $4$.

в)

Предположим, на рисунке 3.22(в) изображены графики гиперболы и прямой.

1. Пусть один график — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях и проходящая через точки $(1, 6)$ и $(2, 3)$. Это график функции $f(x) = \frac{6}{x}$.

2. Второй график — прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, 1)$. Ее уравнение: $g(x) = x$.

3. Составляем уравнение $f(x) = g(x)$: $\frac{6}{x} = x$.

4. Находим корни. Из графика видно, что точки пересечения имеют абсциссы, которые примерно равны $x_1 \approx -2.4$ и $x_2 \approx 2.4$.
Проверим алгебраически:
$\frac{6}{x} = x$
$x^2 = 6$ (при условии $x \neq 0$)
$x = \pm\sqrt{6}$.
Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, графическая оценка верна.

Ответ: Уравнение: $\frac{6}{x} = x$. Корни: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

489 Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ пересекаются в точке (4; 2). Найдите:

1) корень уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$;

2) решение системы уравнений $\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2x - 6 \end{cases}$.

a) $y = x^3 - 6x - 4$

б) $y = x^3 - 3x + 2$

Рис. 3.21

a) $y = x^3$

$y = \frac{1}{x}$

б) $y = x^2$

$y = \frac{1}{2}x + 3$

Рис. 3.22

В условии задачи дано, что графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ пересекаются в точке с координатами (4; 2). Точка пересечения графиков — это точка, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям функций.

1) корень уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$

Корень уравнения вида $f(x) = g(x)$ — это значение переменной $x$, при котором значения функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ равны. Геометрически это соответствует абсциссе (координате $x$) точки пересечения графиков этих функций.
Поскольку графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ пересекаются в точке (4; 2), абсцисса этой точки, равная 4, и является корнем уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$.
Проверим это, подставив $x = 4$ в уравнение:
$\sqrt{4} = 2 \cdot 4 - 6$
$2 = 8 - 6$
$2 = 2$
Равенство верное, следовательно, $x=4$ является корнем уравнения.

Ответ: 4

2) решение системы уравнений $\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2x - 6 \end{cases}$

Решение системы уравнений — это пара значений $(x; y)$, которая одновременно удовлетворяет каждому уравнению системы. Геометрически решение системы — это координаты точки пересечения графиков уравнений, входящих в систему.
Из условия задачи известно, что точка пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ имеет координаты (4; 2). Следовательно, эта пара чисел и является решением данной системы.
Проверим, подставив $x=4$ и $y=2$ в оба уравнения системы:
1) $2 = \sqrt{4}$ (верно)
2) $2 = 2 \cdot 4 - 6 \implies 2 = 8 - 6 \implies 2 = 2$ (верно)
Так как пара (4; 2) удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.

Ответ: (4; 2)