Страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

492 С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение; для каждого корня укажите два целых числа, между которыми он находится:

а) $1/x = x^2 - 4$;

б) $x^3 - x - 9 = 0$.

а) $\frac{1}{x} = x^2 - 4$

Чтобы решить данное уравнение графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x}$ и $y = x^2 - 4$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней уравнения, а абсциссы этих точек — самими корнями.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

При построении графиков видно, что они пересекаются в трех точках. Найдем, между какими целыми числами находится каждый корень.

1. Найдем первый корень, находящийся в отрицательной области оси Ox.
   При $x = -2$: $y_{\text{параболы}} = (-2)^2 - 4 = 0$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
   При $x = -1$: $y_{\text{параболы}} = (-1)^2 - 4 = -3$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{-1} = -1$.
   На интервале $(-2, -1)$ графики пересекаются. Следовательно, первый корень $x_1$ находится между -2 и -1.
2. Найдем второй корень, также находящийся в отрицательной области, но ближе к нулю.
   При $x = -1$ значение параболы $(-3)$ меньше значения гиперболы $(-1)$.
   При приближении $x$ к $0$ слева, значение гиперболы $y = \frac{1}{x}$ стремится к $-\infty$, в то время как значение параболы $y = x^2-4$ стремится к $-4$. Значит, графики должны пересечься.
   Следовательно, второй корень $x_2$ находится между -1 и 0.
3. Найдем третий корень, находящийся в положительной области оси Ox.
   При $x = 2$: $y_{\text{параболы}} = 2^2 - 4 = 0$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{2} = 0.5$.
   При $x = 3$: $y_{\text{параболы}} = 3^2 - 4 = 5$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{3}$.
   На интервале $(2, 3)$ графики пересекаются. Следовательно, третий корень $x_3$ находится между 2 и 3.

Ответ: уравнение имеет 3 корня; один корень находится между -2 и -1, второй — между -1 и 0, третий — между 2 и 3.

б) $x^3 - x - 9 = 0$

Преобразуем уравнение к виду, удобному для графического решения: $x^3 = x + 9$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = x + 9$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.

График функции $y = x + 9$ — это прямая, которая пересекает ось Oy в точке $(0, 9)$ и ось Ox в точке $(-9, 0)$.

Построив графики, можно увидеть, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка находится в положительной области оси Ox. Определим, между какими целыми числами находится абсцисса этой точки. Для этого сравним значения функций в целых точках.

• При $x = 2$: $y = x^3 = 2^3 = 8$; $y = x + 9 = 2 + 9 = 11$. Здесь $x^3 < x + 9$.
• При $x = 3$: $y = x^3 = 3^3 = 27$; $y = x + 9 = 3 + 9 = 12$. Здесь $x^3 > x + 9$.

Поскольку на интервале $(2, 3)$ одна функция стала больше другой, это означает, что точка их пересечения (корень уравнения) находится между числами 2 и 3.

Ответ: уравнение имеет 1 корень, который находится между 2 и 3.

493 Найдите с помощью графиков приближённые значения корней уравнений:

$x^2 - x - 3 = 0$, $x^2 + 2x - 2 = 0$, $\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$, $3 - x - 3x^2 = 0$.

Представьте каждое уравнение в виде $x^2 = ax + b$ и выполните задание, построив в системе координат одну параболу $y = x^2$ и несколько прямых. Воспользуйтесь миллиметровой бумагой.

Для решения уравнений графическим методом, представим каждое из них в виде $x^2 = ax + b$. Это позволит нам найти корни как абсциссы точек пересечения двух графиков: параболы $y = x^2$ и прямой $y = ax + b$.

Сначала построим в одной системе координат график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Для построения возьмем несколько точек:

• $x = 0, y = 0^2 = 0 \rightarrow (0, 0)$
• $x = 1, y = 1^2 = 1 \rightarrow (1, 1)$
• $x = -1, y = (-1)^2 = 1 \rightarrow (-1, 1)$
• $x = 2, y = 2^2 = 4 \rightarrow (2, 4)$
• $x = -2, y = (-2)^2 = 4 \rightarrow (-2, 4)$
• $x = 3, y = 3^2 = 9 \rightarrow (3, 9)$
• $x = -3, y = (-3)^2 = 9 \rightarrow (-3, 9)$

Теперь для каждого уравнения построим соответствующую прямую и найдем точки ее пересечения с параболой $y = x^2$.

На графике изображены:
- Парабола $y = x^2$ (черная)
- Прямая $y = x + 3$ (красная)
- Прямая $y = -2x + 2$ (синяя)
- Прямая $y = 2x + 2$ (зеленая)
- Прямая $y = -\frac{1}{3}x + 1$ (фиолетовая)

$x^2 - x - 3 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^2 = ax + b$:
$x^2 = x + 3$.
Теперь нам нужно найти абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = x + 3$. Построим прямую $y = x + 3$ (на общем графике она красного цвета). Для этого найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Точка (0, 3).
Если $x=-3$, то $y = -3 + 3 = 0$. Точка (-3, 0).
Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. Из графика видно, что точки пересечения имеют абсциссы приблизительно $x_1 \approx -1.3$ и $x_2 \approx 2.3$.
Ответ: $x_1 \approx -1.3, x_2 \approx 2.3$.

$x^2 + 2x - 2 = 0$

Преобразуем уравнение:
$x^2 = -2x + 2$.
Ищем абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2x + 2$. Построим прямую $y = -2x + 2$ (на общем графике она синего цвета). Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0, 2).
Если $x=1$, то $y = -2 \cdot 1 + 2 = 0$. Точка (1, 0).
Из графика находим абсциссы точек пересечения: $x_1 \approx -2.7$ и $x_2 \approx 0.7$.
Ответ: $x_1 \approx -2.7, x_2 \approx 0.7$.

$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$

Сначала умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
$x^2 - 2x - 2 = 0$.
Теперь преобразуем к нужному виду:
$x^2 = 2x + 2$.
Ищем абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 2$. Построим прямую $y = 2x + 2$ (на общем графике она зеленого цвета). Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0, 2).
Если $x=-1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 2 = 0$. Точка (-1, 0).
Из графика находим абсциссы точек пересечения: $x_1 \approx -0.7$ и $x_2 \approx 2.7$.
Ответ: $x_1 \approx -0.7, x_2 \approx 2.7$.

$3 - x - 3x^2 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде:
$-3x^2 - x + 3 = 0$.
Разделим все уравнение на -3:
$x^2 + \frac{1}{3}x - 1 = 0$.
Преобразуем к виду $x^2 = ax + b$:
$x^2 = -\frac{1}{3}x + 1$.
Ищем абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Построим прямую $y = -\frac{1}{3}x + 1$ (на общем графике она фиолетового цвета). Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка (0, 1).
Если $x=3$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка (3, 0).
Из графика находим абсциссы точек пересечения: $x_1 \approx -1.2$ и $x_2 \approx 0.8$.
Ответ: $x_1 \approx -1.2, x_2 \approx 0.8$.

494 Найдите подбором корень уравнения и, используя графические соображения, докажите, что других корней нет:

а) $\sqrt{x}=12-x;$

б) $x^3+x+10=0;$

в) $x^2+3=\frac{4}{x}.$

а) $\sqrt{x}=12-x$

Сначала найдем корень уравнения методом подбора. Область допустимых значений для $x$ определяется двумя условиями:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
• Результат извлечения арифметического квадратного корня неотрицателен, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $12 - x \ge 0$, что означает $x \le 12$.

Таким образом, корень уравнения находится в промежутке $[0, 12]$. Для удобства подбора будем проверять целые числа, которые являются полными квадратами, чтобы $\sqrt{x}$ был целым.

• При $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$, а $12-1=11$. $1 \ne 11$.
• При $x = 4$: $\sqrt{4} = 2$, а $12-4=8$. $2 \ne 8$.
• При $x = 9$: $\sqrt{9} = 3$, а $12-9=3$. $3 = 3$.

Мы нашли корень $x=9$.

Теперь докажем, что других корней нет, используя графические соображения. Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 12 - x$. Корни исходного уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

• Функция $y_1 = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.
• Функция $y_2 = 12 - x$ является убывающей на всей числовой прямой.

График возрастающей функции и график убывающей функции могут пересечься не более одного раза. Поскольку мы уже нашли одну точку пересечения при $x=9$, других точек пересечения, а следовательно, и других корней у уравнения нет.

Ответ: 9.

б) $x^3 + x + 10 = 0$

Найдем корень подбором, проверяя небольшие целые числа.

• При $x = -1$: $(-1)^3 + (-1) + 10 = -1 - 1 + 10 = 8 \ne 0$.
• При $x = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$.

Мы нашли корень $x=-2$.

Для доказательства единственности корня рассмотрим функцию $y = x^3 + x + 10$. Корни уравнения — это точки, в которых график этой функции пересекает ось абсцисс ($y=0$).

Функция $y = x^3 + x + 10$ представляет собой сумму двух возрастающих функций ($f_1(x) = x^3$ и $f_2(x) = x$) и константы. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией.

Это можно доказать строже с помощью производной: $y' = (x^3 + x + 10)' = 3x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и, следовательно, $y' = 3x^2 + 1 \ge 1$. Так как производная функции положительна при любых значениях $x$, функция $y = x^3 + x + 10$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать любую горизонтальную прямую (в том числе и ось $Ox$, то есть прямую $y=0$) не более одного раза. Поскольку мы нашли один корень $x=-2$, он является единственным.

Ответ: -2.

в) $x^2 + 3 = \frac{4}{x}$

Область допустимых значений уравнения: $x \ne 0$. Найдем корень подбором.

• При $x = 1$: $1^2 + 3 = 4$ и $\frac{4}{1} = 4$. $4=4$.

Корень $x=1$ найден.

Докажем, что других корней нет, рассмотрев графики функций $y_1 = x^2 + 3$ и $y_2 = \frac{4}{x}$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения этих графиков. Проанализируем поведение функций на двух промежутках: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

1. При $x > 0$:

• Функция $y_1 = x^2 + 3$ (правая ветвь параболы) является строго возрастающей.
• Функция $y_2 = \frac{4}{x}$ (правая ветвь гиперболы) является строго убывающей.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься на этом промежутке не более одного раза. Так как мы нашли корень $x=1$, который принадлежит этому промежутку, других положительных корней у уравнения нет.

2. При $x < 0$:

• Значения функции $y_1 = x^2 + 3$ всегда положительны. Наименьшее значение функции $y_1$ равно 3 (в вершине параболы при $x=0$), поэтому при $x<0$ значения $y_1 > 3$.
• Значения функции $y_2 = \frac{4}{x}$ при $x < 0$ всегда отрицательны.

Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому на промежутке $(-\infty, 0)$ графики функций не пересекаются, и корней нет.

Объединяя оба случая, мы заключаем, что уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1.

495 В каком из указанных промежутков находится корень уравнения $\sqrt{x} = 0,5x - 4$?

1) $(-\infty; 0]$

2) $[0; 10]$

3) $[10; 20]$

4) $[20; +\infty)$

Для решения уравнения $\sqrt{x} = 0,5x - 4$ необходимо сначала найти его корень, а затем определить, в какой из предложенных промежутков он попадает.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Уравнение содержит арифметический квадратный корень, что накладывает два ограничения:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
• Результат извлечения корня также неотрицателен, поэтому и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $0,5x - 4 \ge 0$.

Решим второе неравенство:
$0,5x \ge 4$
$x \ge \frac{4}{0,5}$
$x \ge 8$

Объединяя условия $x \ge 0$ и $x \ge 8$, получаем общую ОДЗ для уравнения: $x \ge 8$. Это означает, что любой корень уравнения должен быть больше или равен 8.

2. Решение уравнения

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (0,5x - 4)^2$
$x = (0,5x)^2 - 2 \cdot 0,5x \cdot 4 + 4^2$
$x = 0,25x^2 - 4x + 16$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$0,25x^2 - 4x - x + 16 = 0$
$0,25x^2 - 5x + 16 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на 4:
$x^2 - 20x + 64 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$
$\sqrt{D} = 12$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

3. Проверка корней

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 8$):

• $x_1 = 16$. Этот корень удовлетворяет условию $16 \ge 8$, следовательно, он является решением исходного уравнения.
• $x_2 = 4$. Этот корень не удовлетворяет условию $4 \ge 8$, следовательно, это посторонний корень, появившийся из-за возведения в квадрат.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 16$.

4. Определение промежутка

Сравним корень $x = 16$ с предложенными промежутками:
1) $(-\infty; 0]$: $16$ не входит в этот промежуток.
2) $[0; 10]$: $16$ не входит в этот промежуток, так как $16 > 10$.
3) $[10; 20]$: $16$ входит в этот промежуток, так как $10 \le 16 \le 20$.
4) $[20; +\infty)$: $16$ не входит в этот промежуток, так как $16 < 20$.

Следовательно, корень уравнения находится в промежутке $[10; 20]$.

Ответ: 3)

496 Выберите из данных промежутков:

$[1; 2]$, $[1; 1.5]$, $[1.5; 2]$, $[1; 1.2]$, $[1.2; 1.5]$ — те промежутки, которым принадлежит корень уравнения

$x^3 = 4 - x^2$.

Для решения задачи преобразуем данное уравнение к виду $f(x) = 0$ и воспользуемся теоремой о промежуточном значении (следствием из теоремы Больцано — Коши). Если непрерывная на отрезке $[a; b]$ функция $f(x)$ принимает на его концах значения разных знаков, то есть $f(a) \cdot f(b) < 0$, то внутри этого отрезка существует по крайней мере один корень уравнения $f(x) = 0$.

Исходное уравнение: $x^3 = 4 - x^2$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^3 + x^2 - 4 = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x^2 - 4$. Эта функция является многочленом и непрерывна на всей числовой оси. Проверим знаки функции на концах каждого из предложенных промежутков.

Проверка промежутка [1; 2]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1) = 1^3 + 1^2 - 4 = 1 + 1 - 4 = -2$
$f(2) = 2^3 + 2^2 - 4 = 8 + 4 - 4 = 8$
Так как $f(1) < 0$ и $f(2) > 0$, значения функции на концах промежутка имеют разные знаки. Следовательно, на интервале (1; 2) есть корень уравнения.
Ответ: промежутку [1; 2] принадлежит корень уравнения.

Проверка промежутка [1; 1,5]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1) = -2$ (уже вычислено)
$f(1,5) = (1,5)^3 + (1,5)^2 - 4 = 3,375 + 2,25 - 4 = 5,625 - 4 = 1,625$
Так как $f(1) < 0$ и $f(1,5) > 0$, значения функции имеют разные знаки. Следовательно, на интервале (1; 1,5) есть корень.
Ответ: промежутку [1; 1,5] принадлежит корень уравнения.

Проверка промежутка [1,5; 2]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1,5) = 1,625$ (уже вычислено)
$f(2) = 8$ (уже вычислено)
Так как $f(1,5) > 0$ и $f(2) > 0$, значения функции имеют одинаковый знак. Это не гарантирует отсутствие корня, но так как производная $f'(x) = 3x^2 + 2x$ положительна при $x>0$, функция на этом промежутке строго возрастает. Поэтому корень на данном промежутке отсутствует.
Ответ: промежутку [1,5; 2] не принадлежит корень уравнения.

Проверка промежутка [1; 1,2]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1) = -2$
$f(1,2) = (1,2)^3 + (1,2)^2 - 4 = 1,728 + 1,44 - 4 = 3,168 - 4 = -0,832$
Так как $f(1) < 0$ и $f(1,2) < 0$, значения функции имеют одинаковый знак. Поскольку функция на этом промежутке возрастает, корень на нем отсутствует.
Ответ: промежутку [1; 1,2] не принадлежит корень уравнения.

Проверка промежутка [1,2; 1,5]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1,2) = -0,832$ (уже вычислено)
$f(1,5) = 1,625$ (уже вычислено)
Так как $f(1,2) < 0$ и $f(1,5) > 0$, значения функции имеют разные знаки. Следовательно, на интервале (1,2; 1,5) есть корень.
Ответ: промежутку [1,2; 1,5] принадлежит корень уравнения.

Таким образом, корень уравнения $x^3 = 4 - x^2$ принадлежит следующим промежуткам из предложенного списка: [1; 2], [1; 1,5], [1,2; 1,5].

497 Используя схематические графики, определите, сколько корней имеет уравнение; укажите два последовательных целых числа, между которыми находятся корни уравнения:

а) $\sqrt{x} = x - 500;$

б) $\sqrt{x} = 100 - x^2$.

а) $\sqrt{x} = x - 500$

Для решения этого уравнения графическим методом рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = x - 500$. Корни исходного уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков этих функций.

График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и расположенная в первой координатной четверти. Функция определена при $x \ge 0$.

График функции $y_2 = x - 500$ — это прямая с угловым коэффициентом 1, пересекающая ось ординат в точке (0, -500) и ось абсцисс в точке (500, 0).

Схематично построив графики, можно увидеть, что они пересекаются в одной точке. При $x < 500$ значения функции $y_2$ отрицательны, в то время как значения $y_1 = \sqrt{x}$ всегда неотрицательны, поэтому на интервале $[0, 500)$ пересечений нет. При $x = 500$, $y_1 = \sqrt{500} > 0$, а $y_2=0$. Для больших $x$ прямая $y_2$ растет быстрее, чем кривая $y_1$ (например, производная $(x-500)'=1$, а производная $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, что меньше 1 при $x > 1/4$). Это означает, что графики пересекутся только один раз. Таким образом, уравнение имеет один корень.

Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами находится корень, подберем значения $x$, сравнивая значения $y_1$ и $y_2$. Мы уже знаем, что корень больше 500.

• При $x=522$: $y_1 = \sqrt{522} \approx 22.847$, $y_2 = 522 - 500 = 22$. Здесь $y_1 > y_2$.
• При $x=523$: $y_1 = \sqrt{523} \approx 22.869$, $y_2 = 523 - 500 = 23$. Здесь $y_1 < y_2$.

Поскольку при переходе от $x=522$ к $x=523$ одна функция становится больше другой, это означает, что корень уравнения находится между числами 522 и 523.

Ответ: уравнение имеет один корень, который находится между целыми числами 522 и 523.

б) $\sqrt{x} = 100 - x^2$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 100 - x^2$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения их графиков.

Определим область допустимых значений. Из-за $\sqrt{x}$ должно выполняться $x \ge 0$. Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $100 - x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 100$. С учетом $x \ge 0$ получаем, что корень (если он есть) должен находиться на отрезке $[0, 10]$.

График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это возрастающая на всей области определения ветвь параболы. График функции $y_2 = 100 - x^2$ — это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке (0, 100). На интересующем нас отрезке $[0, 10]$ эта функция является убывающей.

Поскольку на отрезке $[0, 10]$ одна функция непрерывно возрастает, а вторая непрерывно убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Чтобы убедиться, что пересечение есть, проверим значения функций на концах отрезка.

• При $x=0$: $y_1 = \sqrt{0} = 0$, $y_2 = 100 - 0^2 = 100$. Здесь $y_1 < y_2$.
• При $x=10$: $y_1 = \sqrt{10} \approx 3.16$, $y_2 = 100 - 10^2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$.

Так как на одном конце отрезка $y_1 < y_2$, а на другом $y_1 > y_2$, и обе функции непрерывны, их графики обязательно пересекутся. Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.

Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами находится этот корень, проверим значения функций для целых $x$ из найденного промежутка.

• При $x=9$: $y_1 = \sqrt{9} = 3$, $y_2 = 100 - 9^2 = 100 - 81 = 19$. Здесь $y_1 < y_2$.
• При $x=10$: $y_1 = \sqrt{10} \approx 3.16$, $y_2 = 100 - 10^2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$.

Так как при переходе от $x=9$ к $x=10$ соотношение между $y_1$ и $y_2$ меняется, корень уравнения находится между целыми числами 9 и 10.

Ответ: уравнение имеет один корень, который находится между целыми числами 9 и 10.

498 С помощью графиков определите количество корней уравнения $x^2 - 4x - \sqrt{x} + 4 = 0$. Найдите приближённое значение большего корня с двумя знаками после запятой.

С помощью графиков определите количество корней уравнения $x^2-4x-\sqrt{x}+4=0$.
Для того чтобы графически определить количество корней, преобразуем данное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия члена $\sqrt{x}$, ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Перепишем уравнение, изолировав радикал в одной части: $x^2 - 4x + 4 = \sqrt{x}$
Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(x-2)^2 = \sqrt{x}$
Теперь задача сводится к нахождению количества точек пересечения графиков двух функций: $y_1 = (x-2)^2$ и $y_2 = \sqrt{x}$.
1. График функции $y_1 = (x-2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке с координатами $(2, 0)$. 2. График функции $y_2 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, исходящая из начала координат $(0, 0)$ и монотонно возрастающая.
Проанализируем поведение графиков, чтобы найти точки их пересечения:

• При $x=1$, получаем $y_1 = (1-2)^2 = 1$ и $y_2 = \sqrt{1} = 1$. Значения функций совпадают, значит, $x_1=1$ является корнем уравнения, а точка $(1, 1)$ — точкой пересечения графиков.
• В вершине параболы, при $x=2$, имеем $y_1 = (2-2)^2 = 0$, в то время как $y_2 = \sqrt{2} \approx 1.41$. Здесь парабола находится ниже графика корня.
• При $x=4$, имеем $y_1 = (4-2)^2 = 4$, а $y_2 = \sqrt{4} = 2$. Здесь парабола уже выше графика корня.

Так как обе функции непрерывны, а на отрезке $[2, 4]$ парабола переходит из положения "ниже" графика корня в положение "выше", то на интервале $(2, 4)$ должна быть еще одна точка пересечения, то есть второй корень уравнения.
При $x>4$ параболическая функция $y_1=(x-2)^2$ растет гораздо быстрее, чем функция $y_2=\sqrt{x}$, поэтому других точек пересечения не будет. Таким образом, графики пересекаются в двух точках, что означает, что исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

Найдите приближённое значение большего корня с двумя знаками после запятой.
Как мы установили, у уравнения два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 \in (2, 4)$. Больший корень — это $x_2$. Для нахождения его приближенного значения будем решать уравнение $(x-2)^2 = \sqrt{x}$ методом последовательных приближений.
Рассмотрим функцию $f(x) = (x-2)^2 - \sqrt{x}$. Нам нужно найти корень уравнения $f(x)=0$ на интервале $(2, 4)$.
Мы уже знаем, что $f(2) = -\sqrt{2} < 0$ и $f(4) = 2 > 0$. Сузим интервал поиска:

• $f(3) = (3-2)^2 - \sqrt{3} = 1 - 1.732... \approx -0.732 < 0$. Корень находится в интервале $(3, 4)$.
• $f(3.3) = (3.3-2)^2 - \sqrt{3.3} = 1.69 - 1.816... \approx -0.126 < 0$.
• $f(3.4) = (3.4-2)^2 - \sqrt{3.4} = 1.96 - 1.843... \approx 0.117 > 0$.

Корень находится в интервале $(3.3, 3.4)$. Уточним значение до второго знака после запятой:

• $f(3.35) = (3.35-2)^2 - \sqrt{3.35} = 1.8225 - 1.830... \approx -0.008 < 0$.
• $f(3.36) = (3.36-2)^2 - \sqrt{3.36} = 1.8496 - 1.833... \approx 0.0166 > 0$.

Корень находится в интервале $(3.35, 3.36)$. Чтобы определить, к какому значению корень ближе, можно проверить середину интервала, $x=3.355$: $f(3.355) = (3.355-2)^2 - \sqrt{3.355} \approx 1.836025 - 1.831666 \approx 0.004359 > 0$.
Так как $f(3.35) < 0$ и $f(3.355) > 0$, корень лежит в интервале $(3.35, 3.355)$. Любое число из этого интервала при округлении до сотых даст $3.35$.
Ответ: $x_2 \approx 3.35$.