Номер 494, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 494, страница 196.

494 Найдите подбором корень уравнения и, используя графические соображения, докажите, что других корней нет:

а) $\sqrt{x}=12-x;$

б) $x^3+x+10=0;$

в) $x^2+3=\frac{4}{x}.$

а) $\sqrt{x}=12-x$

Сначала найдем корень уравнения методом подбора. Область допустимых значений для $x$ определяется двумя условиями:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
• Результат извлечения арифметического квадратного корня неотрицателен, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $12 - x \ge 0$, что означает $x \le 12$.

Таким образом, корень уравнения находится в промежутке $[0, 12]$. Для удобства подбора будем проверять целые числа, которые являются полными квадратами, чтобы $\sqrt{x}$ был целым.

• При $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$, а $12-1=11$. $1 \ne 11$.
• При $x = 4$: $\sqrt{4} = 2$, а $12-4=8$. $2 \ne 8$.
• При $x = 9$: $\sqrt{9} = 3$, а $12-9=3$. $3 = 3$.

Мы нашли корень $x=9$.

Теперь докажем, что других корней нет, используя графические соображения. Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 12 - x$. Корни исходного уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

• Функция $y_1 = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.
• Функция $y_2 = 12 - x$ является убывающей на всей числовой прямой.

График возрастающей функции и график убывающей функции могут пересечься не более одного раза. Поскольку мы уже нашли одну точку пересечения при $x=9$, других точек пересечения, а следовательно, и других корней у уравнения нет.

Ответ: 9.

б) $x^3 + x + 10 = 0$

Найдем корень подбором, проверяя небольшие целые числа.

• При $x = -1$: $(-1)^3 + (-1) + 10 = -1 - 1 + 10 = 8 \ne 0$.
• При $x = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$.

Мы нашли корень $x=-2$.

Для доказательства единственности корня рассмотрим функцию $y = x^3 + x + 10$. Корни уравнения — это точки, в которых график этой функции пересекает ось абсцисс ($y=0$).

Функция $y = x^3 + x + 10$ представляет собой сумму двух возрастающих функций ($f_1(x) = x^3$ и $f_2(x) = x$) и константы. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией.

Это можно доказать строже с помощью производной: $y' = (x^3 + x + 10)' = 3x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и, следовательно, $y' = 3x^2 + 1 \ge 1$. Так как производная функции положительна при любых значениях $x$, функция $y = x^3 + x + 10$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать любую горизонтальную прямую (в том числе и ось $Ox$, то есть прямую $y=0$) не более одного раза. Поскольку мы нашли один корень $x=-2$, он является единственным.

Ответ: -2.

в) $x^2 + 3 = \frac{4}{x}$

Область допустимых значений уравнения: $x \ne 0$. Найдем корень подбором.

• При $x = 1$: $1^2 + 3 = 4$ и $\frac{4}{1} = 4$. $4=4$.

Корень $x=1$ найден.

Докажем, что других корней нет, рассмотрев графики функций $y_1 = x^2 + 3$ и $y_2 = \frac{4}{x}$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения этих графиков. Проанализируем поведение функций на двух промежутках: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

1. При $x > 0$:

• Функция $y_1 = x^2 + 3$ (правая ветвь параболы) является строго возрастающей.
• Функция $y_2 = \frac{4}{x}$ (правая ветвь гиперболы) является строго убывающей.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься на этом промежутке не более одного раза. Так как мы нашли корень $x=1$, который принадлежит этому промежутку, других положительных корней у уравнения нет.

2. При $x < 0$:

• Значения функции $y_1 = x^2 + 3$ всегда положительны. Наименьшее значение функции $y_1$ равно 3 (в вершине параболы при $x=0$), поэтому при $x<0$ значения $y_1 > 3$.
• Значения функции $y_2 = \frac{4}{x}$ при $x < 0$ всегда отрицательны.

Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому на промежутке $(-\infty, 0)$ графики функций не пересекаются, и корней нет.

Объединяя оба случая, мы заключаем, что уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1.