Номер 497, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 497, страница 196.

497 Используя схематические графики, определите, сколько корней имеет уравнение; укажите два последовательных целых числа, между которыми находятся корни уравнения:

а) $\sqrt{x} = x - 500;$

б) $\sqrt{x} = 100 - x^2$.

а) $\sqrt{x} = x - 500$

Для решения этого уравнения графическим методом рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = x - 500$. Корни исходного уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков этих функций.

График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и расположенная в первой координатной четверти. Функция определена при $x \ge 0$.

График функции $y_2 = x - 500$ — это прямая с угловым коэффициентом 1, пересекающая ось ординат в точке (0, -500) и ось абсцисс в точке (500, 0).

Схематично построив графики, можно увидеть, что они пересекаются в одной точке. При $x < 500$ значения функции $y_2$ отрицательны, в то время как значения $y_1 = \sqrt{x}$ всегда неотрицательны, поэтому на интервале $[0, 500)$ пересечений нет. При $x = 500$, $y_1 = \sqrt{500} > 0$, а $y_2=0$. Для больших $x$ прямая $y_2$ растет быстрее, чем кривая $y_1$ (например, производная $(x-500)'=1$, а производная $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, что меньше 1 при $x > 1/4$). Это означает, что графики пересекутся только один раз. Таким образом, уравнение имеет один корень.

Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами находится корень, подберем значения $x$, сравнивая значения $y_1$ и $y_2$. Мы уже знаем, что корень больше 500.

• При $x=522$: $y_1 = \sqrt{522} \approx 22.847$, $y_2 = 522 - 500 = 22$. Здесь $y_1 > y_2$.
• При $x=523$: $y_1 = \sqrt{523} \approx 22.869$, $y_2 = 523 - 500 = 23$. Здесь $y_1 < y_2$.

Поскольку при переходе от $x=522$ к $x=523$ одна функция становится больше другой, это означает, что корень уравнения находится между числами 522 и 523.

Ответ: уравнение имеет один корень, который находится между целыми числами 522 и 523.

б) $\sqrt{x} = 100 - x^2$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 100 - x^2$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения их графиков.

Определим область допустимых значений. Из-за $\sqrt{x}$ должно выполняться $x \ge 0$. Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $100 - x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 100$. С учетом $x \ge 0$ получаем, что корень (если он есть) должен находиться на отрезке $[0, 10]$.

График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это возрастающая на всей области определения ветвь параболы. График функции $y_2 = 100 - x^2$ — это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке (0, 100). На интересующем нас отрезке $[0, 10]$ эта функция является убывающей.

Поскольку на отрезке $[0, 10]$ одна функция непрерывно возрастает, а вторая непрерывно убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Чтобы убедиться, что пересечение есть, проверим значения функций на концах отрезка.

• При $x=0$: $y_1 = \sqrt{0} = 0$, $y_2 = 100 - 0^2 = 100$. Здесь $y_1 < y_2$.
• При $x=10$: $y_1 = \sqrt{10} \approx 3.16$, $y_2 = 100 - 10^2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$.

Так как на одном конце отрезка $y_1 < y_2$, а на другом $y_1 > y_2$, и обе функции непрерывны, их графики обязательно пересекутся. Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.

Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами находится этот корень, проверим значения функций для целых $x$ из найденного промежутка.

• При $x=9$: $y_1 = \sqrt{9} = 3$, $y_2 = 100 - 9^2 = 100 - 81 = 19$. Здесь $y_1 < y_2$.
• При $x=10$: $y_1 = \sqrt{10} \approx 3.16$, $y_2 = 100 - 10^2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$.

Так как при переходе от $x=9$ к $x=10$ соотношение между $y_1$ и $y_2$ меняется, корень уравнения находится между целыми числами 9 и 10.

Ответ: уравнение имеет один корень, который находится между целыми числами 9 и 10.