Номер 492, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый
ISBN: 978-5-09-071890-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 3. Уравнения и системы уравнений. 3.7. Графическое исследование уравнений - номер 492, страница 196.
№492 (с. 196)
Условие. №492 (с. 196)
скриншот условия

492 С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение; для каждого корня укажите два целых числа, между которыми он находится:
а) $1/x = x^2 - 4$;
б) $x^3 - x - 9 = 0$.
Решение 1. №492 (с. 196)


Решение 2. №492 (с. 196)

Решение 3. №492 (с. 196)

Решение 4. №492 (с. 196)
а) $\frac{1}{x} = x^2 - 4$
Чтобы решить данное уравнение графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x}$ и $y = x^2 - 4$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней уравнения, а абсциссы этих точек — самими корнями.
График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
При построении графиков видно, что они пересекаются в трех точках. Найдем, между какими целыми числами находится каждый корень.
- Найдем первый корень, находящийся в отрицательной области оси Ox.
При $x = -2$: $y_{\text{параболы}} = (-2)^2 - 4 = 0$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
При $x = -1$: $y_{\text{параболы}} = (-1)^2 - 4 = -3$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{-1} = -1$.
На интервале $(-2, -1)$ графики пересекаются. Следовательно, первый корень $x_1$ находится между -2 и -1. - Найдем второй корень, также находящийся в отрицательной области, но ближе к нулю.
При $x = -1$ значение параболы $(-3)$ меньше значения гиперболы $(-1)$.
При приближении $x$ к $0$ слева, значение гиперболы $y = \frac{1}{x}$ стремится к $-\infty$, в то время как значение параболы $y = x^2-4$ стремится к $-4$. Значит, графики должны пересечься.
Следовательно, второй корень $x_2$ находится между -1 и 0. - Найдем третий корень, находящийся в положительной области оси Ox.
При $x = 2$: $y_{\text{параболы}} = 2^2 - 4 = 0$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{2} = 0.5$.
При $x = 3$: $y_{\text{параболы}} = 3^2 - 4 = 5$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{3}$.
На интервале $(2, 3)$ графики пересекаются. Следовательно, третий корень $x_3$ находится между 2 и 3.
Ответ: уравнение имеет 3 корня; один корень находится между -2 и -1, второй — между -1 и 0, третий — между 2 и 3.
б) $x^3 - x - 9 = 0$
Преобразуем уравнение к виду, удобному для графического решения: $x^3 = x + 9$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = x + 9$.
График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.
График функции $y = x + 9$ — это прямая, которая пересекает ось Oy в точке $(0, 9)$ и ось Ox в точке $(-9, 0)$.
Построив графики, можно увидеть, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка находится в положительной области оси Ox. Определим, между какими целыми числами находится абсцисса этой точки. Для этого сравним значения функций в целых точках.
- При $x = 2$: $y = x^3 = 2^3 = 8$; $y = x + 9 = 2 + 9 = 11$. Здесь $x^3 < x + 9$.
- При $x = 3$: $y = x^3 = 3^3 = 27$; $y = x + 9 = 3 + 9 = 12$. Здесь $x^3 > x + 9$.
Поскольку на интервале $(2, 3)$ одна функция стала больше другой, это означает, что точка их пересечения (корень уравнения) находится между числами 2 и 3.
Ответ: уравнение имеет 1 корень, который находится между 2 и 3.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 492 расположенного на странице 196 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №492 (с. 196), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.