Номер 492, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

492 С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение; для каждого корня укажите два целых числа, между которыми он находится:

а) $1/x = x^2 - 4$;

б) $x^3 - x - 9 = 0$.

а) $\frac{1}{x} = x^2 - 4$

Чтобы решить данное уравнение графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x}$ и $y = x^2 - 4$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней уравнения, а абсциссы этих точек — самими корнями.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

При построении графиков видно, что они пересекаются в трех точках. Найдем, между какими целыми числами находится каждый корень.

1. Найдем первый корень, находящийся в отрицательной области оси Ox.
   При $x = -2$: $y_{\text{параболы}} = (-2)^2 - 4 = 0$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
   При $x = -1$: $y_{\text{параболы}} = (-1)^2 - 4 = -3$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{-1} = -1$.
   На интервале $(-2, -1)$ графики пересекаются. Следовательно, первый корень $x_1$ находится между -2 и -1.
2. Найдем второй корень, также находящийся в отрицательной области, но ближе к нулю.
   При $x = -1$ значение параболы $(-3)$ меньше значения гиперболы $(-1)$.
   При приближении $x$ к $0$ слева, значение гиперболы $y = \frac{1}{x}$ стремится к $-\infty$, в то время как значение параболы $y = x^2-4$ стремится к $-4$. Значит, графики должны пересечься.
   Следовательно, второй корень $x_2$ находится между -1 и 0.
3. Найдем третий корень, находящийся в положительной области оси Ox.
   При $x = 2$: $y_{\text{параболы}} = 2^2 - 4 = 0$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{2} = 0.5$.
   При $x = 3$: $y_{\text{параболы}} = 3^2 - 4 = 5$, а $y_{\text{гиперболы}} = \frac{1}{3}$.
   На интервале $(2, 3)$ графики пересекаются. Следовательно, третий корень $x_3$ находится между 2 и 3.

Ответ: уравнение имеет 3 корня; один корень находится между -2 и -1, второй — между -1 и 0, третий — между 2 и 3.

б) $x^3 - x - 9 = 0$

Преобразуем уравнение к виду, удобному для графического решения: $x^3 = x + 9$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = x + 9$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.

График функции $y = x + 9$ — это прямая, которая пересекает ось Oy в точке $(0, 9)$ и ось Ox в точке $(-9, 0)$.

Построив графики, можно увидеть, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка находится в положительной области оси Ox. Определим, между какими целыми числами находится абсцисса этой точки. Для этого сравним значения функций в целых точках.

• При $x = 2$: $y = x^3 = 2^3 = 8$; $y = x + 9 = 2 + 9 = 11$. Здесь $x^3 < x + 9$.
• При $x = 3$: $y = x^3 = 3^3 = 27$; $y = x + 9 = 3 + 9 = 12$. Здесь $x^3 > x + 9$.

Поскольку на интервале $(2, 3)$ одна функция стала больше другой, это означает, что точка их пересечения (корень уравнения) находится между числами 2 и 3.

Ответ: уравнение имеет 1 корень, который находится между 2 и 3.