Номер 495, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 495, страница 196.

495 В каком из указанных промежутков находится корень уравнения $\sqrt{x} = 0,5x - 4$?

1) $(-\infty; 0]$

2) $[0; 10]$

3) $[10; 20]$

4) $[20; +\infty)$

Для решения уравнения $\sqrt{x} = 0,5x - 4$ необходимо сначала найти его корень, а затем определить, в какой из предложенных промежутков он попадает.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Уравнение содержит арифметический квадратный корень, что накладывает два ограничения:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
• Результат извлечения корня также неотрицателен, поэтому и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $0,5x - 4 \ge 0$.

Решим второе неравенство:
$0,5x \ge 4$
$x \ge \frac{4}{0,5}$
$x \ge 8$

Объединяя условия $x \ge 0$ и $x \ge 8$, получаем общую ОДЗ для уравнения: $x \ge 8$. Это означает, что любой корень уравнения должен быть больше или равен 8.

2. Решение уравнения

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (0,5x - 4)^2$
$x = (0,5x)^2 - 2 \cdot 0,5x \cdot 4 + 4^2$
$x = 0,25x^2 - 4x + 16$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$0,25x^2 - 4x - x + 16 = 0$
$0,25x^2 - 5x + 16 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на 4:
$x^2 - 20x + 64 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$
$\sqrt{D} = 12$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

3. Проверка корней

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 8$):

• $x_1 = 16$. Этот корень удовлетворяет условию $16 \ge 8$, следовательно, он является решением исходного уравнения.
• $x_2 = 4$. Этот корень не удовлетворяет условию $4 \ge 8$, следовательно, это посторонний корень, появившийся из-за возведения в квадрат.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 16$.

4. Определение промежутка

Сравним корень $x = 16$ с предложенными промежутками:
1) $(-\infty; 0]$: $16$ не входит в этот промежуток.
2) $[0; 10]$: $16$ не входит в этот промежуток, так как $16 > 10$.
3) $[10; 20]$: $16$ входит в этот промежуток, так как $10 \le 16 \le 20$.
4) $[20; +\infty)$: $16$ не входит в этот промежуток, так как $16 < 20$.

Следовательно, корень уравнения находится в промежутке $[10; 20]$.

Ответ: 3)