Номер 489, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 489, страница 194.

489 Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ пересекаются в точке (4; 2). Найдите:

1) корень уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$;

2) решение системы уравнений $\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2x - 6 \end{cases}$.

a) $y = x^3 - 6x - 4$

б) $y = x^3 - 3x + 2$

Рис. 3.21

a) $y = x^3$

$y = \frac{1}{x}$

б) $y = x^2$

$y = \frac{1}{2}x + 3$

Рис. 3.22

В условии задачи дано, что графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ пересекаются в точке с координатами (4; 2). Точка пересечения графиков — это точка, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям функций.

1) корень уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$

Корень уравнения вида $f(x) = g(x)$ — это значение переменной $x$, при котором значения функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ равны. Геометрически это соответствует абсциссе (координате $x$) точки пересечения графиков этих функций.
Поскольку графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ пересекаются в точке (4; 2), абсцисса этой точки, равная 4, и является корнем уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$.
Проверим это, подставив $x = 4$ в уравнение:
$\sqrt{4} = 2 \cdot 4 - 6$
$2 = 8 - 6$
$2 = 2$
Равенство верное, следовательно, $x=4$ является корнем уравнения.

Ответ: 4

2) решение системы уравнений $\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2x - 6 \end{cases}$

Решение системы уравнений — это пара значений $(x; y)$, которая одновременно удовлетворяет каждому уравнению системы. Геометрически решение системы — это координаты точки пересечения графиков уравнений, входящих в систему.
Из условия задачи известно, что точка пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ имеет координаты (4; 2). Следовательно, эта пара чисел и является решением данной системы.
Проверим, подставив $x=4$ и $y=2$ в оба уравнения системы:
1) $2 = \sqrt{4}$ (верно)
2) $2 = 2 \cdot 4 - 6 \implies 2 = 8 - 6 \implies 2 = 2$ (верно)
Так как пара (4; 2) удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.

Ответ: (4; 2)