Номер 485, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 485, страница 191.

485 В одном куске сплава 6 кг меди, а в другом — 12 кг. Процентное содержание меди в первом сплаве на $40\%$ меньше, чем во втором. Если эти два куска сплавить в один, то получится сплав, содержащий $36\%$ меди. Определите процентное содержание меди в каждом из сплавов.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго кусков сплава соответственно (в кг).
• Пусть $x$ — концентрация меди (в долях единицы) во втором сплаве.
• По условию, процентное содержание меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Следовательно, концентрация меди в первом сплаве равна $x - 0.4x = 0.6x$.

Нам даны массы меди в каждом из сплавов:

• Масса меди в первом сплаве: 6 кг.
• Масса меди во втором сплаве: 12 кг.

Масса всего сплава равна массе меди, деленной на ее концентрацию. Выразим массы каждого из кусков сплава:

Масса первого сплава: $m_1 = \frac{6}{0.6x}$ кг.

Масса второго сплава: $m_2 = \frac{12}{x}$ кг.

Когда эти два куска сплавили, получился новый сплав. Найдем его общую массу и общую массу меди в нем:

• Общая масса меди: $6 \text{ кг} + 12 \text{ кг} = 18 \text{ кг}$.
• Общая масса нового сплава: $M_{общ} = m_1 + m_2 = \frac{6}{0.6x} + \frac{12}{x}$.

Концентрация меди в полученном сплаве составляет 36%, что в долях равно 0.36. Мы можем составить уравнение, используя формулу концентрации:

$\frac{\text{Общая масса меди}}{\text{Общая масса сплава}} = 0.36$

Подставим известные значения и выражения:

$\frac{18}{\frac{6}{0.6x} + \frac{12}{x}} = 0.36$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала упростим выражение в знаменателе:

$\frac{6}{0.6x} + \frac{12}{x} = \frac{10}{x} + \frac{12}{x} = \frac{22}{x}$

Подставим упрощенный знаменатель обратно в уравнение:

$\frac{18}{\frac{22}{x}} = 0.36$

Упростим левую часть:

$\frac{18x}{22} = 0.36$

Теперь выразим $x$:

$18x = 0.36 \cdot 22$

$x = \frac{0.36 \cdot 22}{18}$

$x = 0.02 \cdot 22$

$x = 0.44$

Мы нашли концентрацию меди во втором сплаве. В процентах это будет $0.44 \cdot 100\% = 44\%$.

Теперь найдем концентрацию меди в первом сплаве:

$0.6x = 0.6 \cdot 0.44 = 0.264$

В процентах это составляет $0.264 \cdot 100\% = 26.4\%$.

Ответ: процентное содержание меди в первом сплаве — 26,4%, во втором сплаве — 44%.