Номер 479, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 479, страница 190.

479 Два ученика 9 класса вместе расчистили школьный каток за 20 мин. В следующий раз один из них расчистил $\frac{2}{3}$ площади катка, а после этого его сменил другой и закончил работу. При этом каток был расчищен за 40 мин. За какое время может расчистить каток каждый из школьников, работая отдельно?

Обозначения и уравнения

Пусть $t_1$ – время (в минутах), за которое первый ученик может расчистить каток в одиночку, а $t_2$ – время (в минутах), за которое второй ученик может расчистить каток в одиночку.Их производительность (скорость работы) равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$ катка в минуту соответственно.

Из первого условия, что вместе они расчищают каток за 20 минут, следует уравнение их совместной производительности:$v_1 + v_2 = \frac{1}{20}$Подставляя выражения для производительности через время, получаем первое уравнение системы:$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{20}$

Из второго условия, один ученик расчистил $\frac{2}{3}$ катка, а другой – оставшуюся $\frac{1}{3}$. Вся работа заняла 40 минут.Пусть первый ученик расчистил $\frac{2}{3}$ катка. Время, которое он на это затратил, равно $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{2/3}{1/t_1} = \frac{2}{3}t_1$.Второй ученик расчистил $\frac{1}{3}$ катка. Время, которое он на это затратил, равно $\frac{1/3}{1/t_2} = \frac{1}{3}t_2$.Суммарное время равно 40 минутам, отсюда получаем второе уравнение:$\frac{2}{3}t_1 + \frac{1}{3}t_2 = 40$

Решение системы уравнений

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{20}$
2) $\frac{2}{3}t_1 + \frac{1}{3}t_2 = 40$

Упростим второе уравнение, умножив его на 3:$2t_1 + t_2 = 120$Выразим $t_2$ через $t_1$:$t_2 = 120 - 2t_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{120 - 2t_1} = \frac{1}{20}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{(120 - 2t_1) + t_1}{t_1(120 - 2t_1)} = \frac{1}{20}$
$\frac{120 - t_1}{120t_1 - 2t_1^2} = \frac{1}{20}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$20(120 - t_1) = 120t_1 - 2t_1^2$
$2400 - 20t_1 = 120t_1 - 2t_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$2t_1^2 - 120t_1 - 20t_1 + 2400 = 0$
$2t_1^2 - 140t_1 + 2400 = 0$Разделим уравнение на 2 для упрощения:$t_1^2 - 70t_1 + 1200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1200 = 4900 - 4800 = 100$
Найдем корни уравнения:$t_{1,1} = \frac{70 + \sqrt{100}}{2} = \frac{70 + 10}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$t_{1,2} = \frac{70 - \sqrt{100}}{2} = \frac{70 - 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Получение и проверка решений

Мы получили два возможных значения для времени работы одного из учеников. Найдем соответствующие значения для второго ученика, используя формулу $t_2 = 120 - 2t_1$.

Случай 1: Если $t_1 = 30$ минут, то $t_2 = 120 - 2 \cdot 30 = 120 - 60 = 60$ минут. В этом случае одному ученику потребуется 30 минут, а другому — 60 минут.

Случай 2: Если $t_1 = 40$ минут, то $t_2 = 120 - 2 \cdot 40 = 120 - 80 = 40$ минут. В этом случае обоим ученикам потребуется по 40 минут.

Оба набора решений удовлетворяют условиям задачи. Если бы ученики поменялись местами во втором сценарии (второй расчистил бы $\frac{2}{3}$ катка, а первый — $\frac{1}{3}$), мы бы получили те же самые пары временных интервалов. Таким образом, задача имеет два возможных ответа.

Ответ: Существует два возможных варианта: один ученик может расчистить каток за 30 минут, а другой за 60 минут, либо оба ученика могут расчистить каток за 40 минут каждый.