Номер 484, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 484, страница 191.

484 Соединили два раствора одной и той же кислоты разной концентрации и получили 10 кг нового раствора данной кислоты. Концентрация первого раствора (т. е. процентное содержание кислоты) на 10% больше концентрации второго раствора. Определите массу каждого раствора, если в первом содержалось 0,8 кг кислоты, а во втором — 0,6 кг. Определите процентное содержание кислоты в каждом растворе.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго растворов соответственно (в кг).
• $m_{к1}$ и $m_{к2}$ — массы кислоты в первом и втором растворах соответственно (в кг).
• $C_1$ и $C_2$ — концентрации (процентное содержание кислоты в долях) первого и второго растворов.

Из условия задачи нам известно:

• Масса кислоты в первом растворе $m_{к1} = 0,8$ кг.
• Масса кислоты во втором растворе $m_{к2} = 0,6$ кг.
• Общая масса полученного раствора: $m_1 + m_2 = 10$ кг.
• Концентрация первого раствора на 10% больше концентрации второго. В долях это записывается как: $C_1 = C_2 + 0,1$.

Определите массу каждого раствора

Концентрация раствора вычисляется по формуле: $C = \frac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}$.

Следовательно, для наших растворов:

$C_1 = \frac{m_{к1}}{m_1} = \frac{0,8}{m_1}$

$C_2 = \frac{m_{к2}}{m_2} = \frac{0,6}{m_2}$

Подставим эти выражения в уравнение, связывающее концентрации:

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{0,6}{m_2} + 0,1$

Из уравнения для общей массы выразим $m_2$ через $m_1$: $m_2 = 10 - m_1$.

Подставим $m_2$ в уравнение для концентраций:

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{0,6}{10 - m_1} + 0,1$

Для решения этого уравнения приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{0,6 + 0,1(10 - m_1)}{10 - m_1}$

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{0,6 + 1 - 0,1m_1}{10 - m_1}$

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{1,6 - 0,1m_1}{10 - m_1}$

Используем правило пропорции (перекрестное умножение):

$0,8(10 - m_1) = m_1(1,6 - 0,1m_1)$

$8 - 0,8m_1 = 1,6m_1 - 0,1m_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0,1m_1^2 - 1,6m_1 - 0,8m_1 + 8 = 0$

$0,1m_1^2 - 2,4m_1 + 8 = 0$

Умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$m_1^2 - 24m_1 + 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$

Найдем корни уравнения:

$m_1 = \frac{-(-24) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 \pm 16}{2}$

Получаем два возможных значения для $m_1$:

$m_{1,1} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$m_{1,2} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Проверим найденные значения. Если $m_1 = 20$ кг, то масса второго раствора $m_2 = 10 - 20 = -10$ кг. Масса не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит.

Если $m_1 = 4$ кг, то масса второго раствора $m_2 = 10 - 4 = 6$ кг. Это решение является физически возможным.

Ответ: масса первого раствора — 4 кг, масса второго раствора — 6 кг.

Определите процентное содержание кислоты в каждом растворе

Зная массы каждого раствора, найдем их концентрации.

Концентрация первого раствора:

$C_1 = \frac{0,8 \text{ кг}}{4 \text{ кг}} = 0,2$

В процентах это составляет: $0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Концентрация второго раствора:

$C_2 = \frac{0,6 \text{ кг}}{6 \text{ кг}} = 0,1$

В процентах это составляет: $0,1 \cdot 100\% = 10\%$.

Проверка: $20\% - 10\% = 10\%$, что соответствует условию задачи.

Ответ: процентное содержание кислоты в первом растворе — 20%, во втором растворе — 10%.