Номер 480, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 480, страница 191.

480 Пароход прошёл 100 км по течению реки и 64 км против течения за 9 ч. В другой раз за это же время он прошёл 80 км против течения и вернулся обратно. Определите скорость парохода в стоячей воде и скорость течения.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

1. Введение переменных.

Пусть $v_п$ — скорость парохода в стоячей воде (собственная скорость) в км/ч, а $v_т$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость парохода по течению реки равна $(v_п + v_т)$ км/ч.

Скорость парохода против течения реки равна $(v_п - v_т)$ км/ч.

2. Составление системы уравнений.

Используем формулу времени $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Из первого условия известно, что пароход прошел 100 км по течению и 64 км против течения за 9 часов. Составим первое уравнение: $$ \frac{100}{v_п + v_т} + \frac{64}{v_п - v_т} = 9 $$

Из второго условия известно, что за то же время (9 часов) пароход прошел 80 км против течения и вернулся обратно, то есть прошел 80 км по течению. Составим второе уравнение: $$ \frac{80}{v_п - v_т} + \frac{80}{v_п + v_т} = 9 $$

3. Решение системы уравнений.

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} \frac{100}{v_п + v_т} + \frac{64}{v_п - v_т} = 9 \\ \frac{80}{v_п + v_т} + \frac{80}{v_п - v_т} = 9 \end{cases} $$

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{v_п + v_т}$ и $y = \frac{1}{v_п - v_т}$.

Тогда система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} 100x + 64y = 9 \\ 80x + 80y = 9 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $80x = 9 - 80y$ $x = \frac{9 - 80y}{80} = \frac{9}{80} - y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение: $100(\frac{9}{80} - y) + 64y = 9$ $\frac{900}{80} - 100y + 64y = 9$ $\frac{90}{8} - 36y = 9$ $11.25 - 36y = 9$ $36y = 11.25 - 9$ $36y = 2.25$ $y = \frac{2.25}{36} = \frac{9/4}{36} = \frac{9}{4 \cdot 36} = \frac{1}{16}$

Теперь найдем $x$: $x = \frac{9}{80} - y = \frac{9}{80} - \frac{1}{16}$ Приведем к общему знаменателю 80: $x = \frac{9}{80} - \frac{5}{80} = \frac{4}{80} = \frac{1}{20}$

4. Нахождение скоростей.

Выполним обратную замену: $x = \frac{1}{v_п + v_т} = \frac{1}{20} \implies v_п + v_т = 20$ $y = \frac{1}{v_п - v_т} = \frac{1}{16} \implies v_п - v_т = 16$

Получили новую, более простую систему уравнений: $$ \begin{cases} v_п + v_т = 20 \\ v_п - v_т = 16 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы: $(v_п + v_т) + (v_п - v_т) = 20 + 16$ $2v_п = 36$ $v_п = 18$

Подставим найденное значение $v_п$ в первое уравнение $v_п + v_т = 20$: $18 + v_т = 20$ $v_т = 20 - 18$ $v_т = 2$

Таким образом, скорость парохода в стоячей воде составляет 18 км/ч, а скорость течения — 2 км/ч.

Ответ: скорость парохода в стоячей воде — 18 км/ч, скорость течения — 2 км/ч.