Номер 477, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 477, страница 190.

477 Решите задачу 437 из пункта 3.4, составив систему уравнений.

Для решения задачи 437 составим систему уравнений. Обозначим скорость первого туриста как $v_1$ (в км/ч), а скорость второго туриста как $v_2$ (в км/ч).

Условия задачи:

• Расстояние между пунктами A и B: $S = 28$ км.
• Туристы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа 30 минут. Переведем время встречи в часы: $t_{встр} = 2.5$ ч.
• Первому туристу на весь путь требуется на 1 час 20 минут меньше, чем второму. Переведем разницу во времени в часы: $\Delta t = 1 \frac{20}{60} = 1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ ч.

Составление системы уравнений:

1. Когда туристы движутся навстречу друг другу, их общая скорость (скорость сближения) равна $v_1 + v_2$. За время $t_{встр}$ они вместе проходят все расстояние $S$.
$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$
$28 = (v_1 + v_2) \cdot 2.5$
Отсюда $v_1 + v_2 = \frac{28}{2.5} = \frac{28}{5/2} = \frac{56}{5} = 11.2$.
Получаем первое уравнение: $v_1 + v_2 = 11.2$.

2. Время, которое требуется первому туристу на весь путь: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{28}{v_1}$.
Время, которое требуется второму туристу на весь путь: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{28}{v_2}$.
По условию, первому туристу требуется времени меньше, значит $t_1 = t_2 - \Delta t$, или $t_2 - t_1 = \Delta t$.
$\frac{28}{v_2} - \frac{28}{v_1} = \frac{4}{3}$.
Это второе уравнение системы.

Система уравнений:

$$\begin{cases}v_1 + v_2 = 11.2 \\\frac{28}{v_2} - \frac{28}{v_1} = \frac{4}{3}\end{cases}$$

Решение системы:

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 11.2 - v_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{28}{11.2 - v_1} - \frac{28}{v_1} = \frac{4}{3}$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:
$\frac{7}{11.2 - v_1} - \frac{7}{v_1} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(11.2 - v_1)$:
$\frac{7v_1 - 7(11.2 - v_1)}{v_1(11.2 - v_1)} = \frac{1}{3}$
$\frac{7v_1 - 78.4 + 7v_1}{11.2v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
$\frac{14v_1 - 78.4}{11.2v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3(14v_1 - 78.4) = 1(11.2v_1 - v_1^2)$
$42v_1 - 235.2 = 11.2v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение:
$v_1^2 + 42v_1 - 11.2v_1 - 235.2 = 0$
$v_1^2 + 30.8v_1 - 235.2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим уравнение на 10:
$10v_1^2 + 308v_1 - 2352 = 0$
Разделим все коэффициенты на 2:
$5v_1^2 + 154v_1 - 1176 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 154^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1176) = 23716 + 23520 = 47236$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-154 \pm \sqrt{47236}}{2 \cdot 5} = \frac{-154 \pm \sqrt{4 \cdot 11809}}{10} = \frac{-154 \pm 2\sqrt{11809}}{10} = \frac{-77 \pm \sqrt{11809}}{5}$

Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем корень со знаком плюс. $\sqrt{11809} \approx \sqrt{12100} = 110$, поэтому $-77 + \sqrt{11809} > 0$.
$v_1 = \frac{-77 + \sqrt{11809}}{5}$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго туриста:
$v_2 = 11.2 - v_1 = \frac{56}{5} - \frac{-77 + \sqrt{11809}}{5} = \frac{56 - (-77 + \sqrt{11809})}{5} = \frac{56 + 77 - \sqrt{11809}}{5} = \frac{133 - \sqrt{11809}}{5}$ км/ч.

Примечание: Полученные иррациональные ответы являются точным решением задачи с заданными числовыми значениями. Вероятно, в условии задачи в учебнике имеется опечатка, которая не позволяет получить "красивый" рациональный ответ.

Ответ: Скорость первого туриста равна $\frac{\sqrt{11809}-77}{5}$ км/ч, скорость второго туриста равна $\frac{133-\sqrt{11809}}{5}$ км/ч.