Номер 472, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 472, страница 189.

472 a) Начертите план участка прямоугольной формы, в котором отрезок $AB$ (рис. 3.16) — это дорожка, идущая по диагонали участка. Длина дорожки 13 м, а периметр участка равен 34 м. Сколько решений имеет задача?

Рис. 3.16

б) На отрезке $AB$ как на диаметре (рис. 3.17) построена полуокружность. Её радиус равен 10 см. Постройте на полуокружности точку $C$, такую, чтобы расстояние от этой точки до одного из концов диаметра было на 4 см больше, чем расстояние от этой точки до другого конца диаметра. Сколько решений имеет задача?

Рис. 3.17

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны x и y. По условию, периметр участка равен 34 м, а длина диагонали (дорожки), обозначенной как AB, — 13 м.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. Диагональ прямоугольника является гипотенузой для прямоугольного треугольника со катетами x и y. По теореме Пифагора, $x^2 + y^2 = d^2$, где d — диагональ.

Составим систему уравнений на основе данных задачи: $$ \begin{cases} 2(x + y) = 34 \\ x^2 + y^2 = 13^2 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, разделив обе части на 2: $$ x + y = 17 $$ Отсюда выразим y через x: $$ y = 17 - x $$

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ x^2 + (17 - x)^2 = 169 $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + (289 - 34x + x^2) = 169 $$ Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть: $$ 2x^2 - 34x + 289 - 169 = 0 $$ $$ 2x^2 - 34x + 120 = 0 $$ Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $$ x^2 - 17x + 60 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 60. Корнями уравнения являются числа 5 и 12. Таким образом, $x_1 = 5$ и $x_2 = 12$.

Если одна сторона $x = 5$ м, то вторая сторона $y = 17 - 5 = 12$ м.
Если одна сторона $x = 12$ м, то вторая сторона $y = 17 - 12 = 5$ м.

В обоих случаях мы получаем прямоугольник со сторонами 5 м и 12 м. Таким образом, размеры участка определены однозначно.

Чтобы начертить план, необходимо построить прямоугольник по его диагонали AB. Если концы диагонали A и B зафиксированы, то остальные две вершины можно построить по обе стороны от отрезка AB. Это означает, что можно построить два различных прямоугольника, у которых отрезок AB будет служить диагональю.

Иллюстрация двух возможных планов участка с диагональю AB (не в масштабе).

Ответ: Стороны участка равны 5 м и 12 м. Задача имеет 2 решения для построения плана.

---

б)

Дана полуокружность, построенная на отрезке AB как на диаметре. Радиус полуокружности равен 10 см, следовательно, длина диаметра $AB = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Требуется построить на этой полуокружности точку C, для которой разница расстояний до концов диаметра A и B составляет 4 см.

Пусть AC и BC — это расстояния от точки C до точек A и B соответственно. Условие можно записать как $|AC - BC| = 4$ см. Это эквивалентно двум возможным случаям:
1) $AC = BC + 4$
2) $BC = AC + 4$

Поскольку точка C лежит на полуокружности с диаметром AB, вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым. Таким образом, треугольник $\triangle ACB$ — прямоугольный, где AB — гипотенуза.

Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle ACB$: $$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $$ $$ AC^2 + BC^2 = 20^2 = 400 $$

Рассмотрим первый случай: $AC = BC + 4$. Подставим это выражение в уравнение Пифагора: $$ (BC + 4)^2 + BC^2 = 400 $$ $$ BC^2 + 8 \cdot BC + 16 + BC^2 = 400 $$ $$ 2 \cdot BC^2 + 8 \cdot BC - 384 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ BC^2 + 4 \cdot BC - 192 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$. Найдем корни уравнения: $$ BC = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 28}{2} $$ Поскольку длина отрезка является положительной величиной, выбираем только положительный корень: $$ BC = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} $$ Тогда, $AC = BC + 4 = 12 + 4 = 16$ см.

Рассмотрение второго случая ($BC = AC + 4$) приведет к симметричному результату: $AC = 12$ см и $BC = 16$ см.

Таким образом, существует два набора расстояний: ($AC=16$, $BC=12$) и ($AC=12$, $BC=16$). Каждому из этих наборов соответствует уникальная точка на полуокружности.

Для построения первой точки C₁, нужно найти пересечение исходной полуокружности и окружности с центром в точке A и радиусом 16 см (или окружности с центром в B и радиусом 12 см). Для построения второй точки C₂, нужно найти пересечение полуокружности и окружности с центром в A и радиусом 12 см (или с центром в B и радиусом 16 см).

Эти две точки-решения будут расположены симметрично относительно перпендикуляра к диаметру AB, проходящего через его центр. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.