Номер 473, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 473, страница 190.

473 В аудитории расставили одинаковыми рядами 84 стула. Затем добавили 36 стульев и при этом сделали перестановку: в каждом ряду уменьшили число стульев на 2, но увеличили число рядов на 4. Сколько рядов и сколько стульев в каждом ряду было в аудитории первоначально?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $r$ — первоначальное количество рядов, а $c$ — первоначальное количество стульев в каждом ряду.

По условию, изначально в аудитории было 84 стула. Это можно выразить первым уравнением:

$r \cdot c = 84$

Затем добавили 36 стульев, и общее количество стульев стало $84 + 36 = 120$. При этом количество рядов увеличили на 4 (стало $r + 4$), а количество стульев в каждом ряду уменьшили на 2 (стало $c - 2$). Это можно выразить вторым уравнением:

$(r + 4)(c - 2) = 120$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} r \cdot c = 84 \\ (r + 4)(c - 2) = 120 \end{cases}$

Выразим $c$ из первого уравнения:

$c = \frac{84}{r}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(r + 4)(\frac{84}{r} - 2) = 120$

Раскроем скобки:

$r \cdot \frac{84}{r} - 2r + 4 \cdot \frac{84}{r} - 4 \cdot 2 = 120$

$84 - 2r + \frac{336}{r} - 8 = 120$

Приведем подобные слагаемые:

$76 - 2r + \frac{336}{r} = 120$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $r$ (так как $r \neq 0$):

$-2r + \frac{336}{r} = 44$

$-2r^2 + 336 = 44r$

$-2r^2 - 44r + 336 = 0$

Разделим уравнение на -2, чтобы упростить его:

$r^2 + 22r - 168 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 484 + 672 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдем корни уравнения:

$r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 + 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 - 34}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

Так как количество рядов не может быть отрицательным, нам подходит только корень $r = 6$.

Теперь найдем первоначальное количество стульев в ряду $c$:

$c = \frac{84}{r} = \frac{84}{6} = 14$

Проверим решение. Изначально: 6 рядов по 14 стульев = 84 стула. После изменений: $6+4=10$ рядов, $14-2=12$ стульев в ряду. Итого $10 \cdot 12 = 120$ стульев. $84 + 36 = 120$. Все верно.

Ответ: первоначально в аудитории было 6 рядов и 14 стульев в каждом ряду.