Номер 470, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 470, страница 189.

470 a) Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, его гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты этого треугольника.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из его катетов больше другого на 17 см. Найдите катеты этого треугольника.

а)

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.
По условию задачи, периметр $P = 24$ см, а гипотенуза $c = 10$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Подставляя известные значения, получаем:
$24 = a + b + 10$
Отсюда находим сумму катетов:
$a + b = 24 - 10 = 14$ см.

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим значение гипотенузы:
$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$.

Мы получили систему уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b = 14 - a$ и подставим во второе уравнение:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$
$a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100$
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$a^2 - 14a + 48 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна 14, а их произведение — 48. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и 8.
Следовательно, $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.
Если один катет равен 6 см, то второй равен $14 - 6 = 8$ см.
Если один катет равен 8 см, то второй равен $14 - 8 = 6$ см.
Значит, длины катетов равны 6 см и 8 см.

Ответ: катеты равны 6 см и 8 см.

б)

Обозначим один катет как $x$ см. По условию, другой катет на 17 см больше, значит его длина $(x + 17)$ см. Гипотенуза равна 25 см.

По теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), составим уравнение:
$x^2 + (x + 17)^2 = 25^2$

Решим это уравнение:
$x^2 + x^2 + 34x + 289 = 625$
$2x^2 + 34x + 289 - 625 = 0$
$2x^2 + 34x - 336 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$x^2 + 17x - 168 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961 = 31^2$
$x_1 = \frac{-17 + \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 + 31}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-17 - \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 - 31}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Длина стороны треугольника не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -24$ не является решением задачи.
Значит, длина одного катета равна 7 см.

Длина второго катета равна $x + 17 = 7 + 17 = 24$ см.

Ответ: катеты равны 7 см и 24 см.