Номер 464, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 464, страница 187.

464 Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $M(0; 1)$, $N(1; 0)$ и $K(3; 10)$. Задайте эту параболу уравнением и постройте её.

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 5.

Задайте эту параболу уравнением

Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$, мы подставим координаты данных точек M(0; 1), N(1; 0) и K(3; 10) в это уравнение. Это даст нам систему из трех уравнений.

1. Подставляем координаты точки M(0; 1):

$1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$

Из этого уравнения сразу находим $c$:

$c = 1$

2. Подставляем координаты точки N(1; 0):

$0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c$

$0 = a + b + c$

Так как мы уже знаем, что $c=1$, подставляем это значение в уравнение:

$a + b + 1 = 0$

$a + b = -1$ (Уравнение 1)

3. Подставляем координаты точки K(3; 10):

$10 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c$

$10 = 9a + 3b + c$

Подставляем $c=1$:

$10 = 9a + 3b + 1$

$9a + 3b = 9$

Разделим обе части последнего уравнения на 3, чтобы упростить его:

$3a + b = 3$ (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = -1 \\ 3a + b = 3 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(3a + b) - (a + b) = 3 - (-1)$

$2a = 4$

$a = 2$

Подставим найденное значение $a=2$ в первое уравнение системы ($a + b = -1$):

$2 + b = -1$

$b = -1 - 2$

$b = -3$

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.

Ответ: Уравнение параболы: $y = 2x^2 - 3x + 1$.

Постройте её

Для построения графика параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ найдем её ключевые характеристики.

1. Направление ветвей. Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$

$y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) + 1 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{1}{8} = -0.125$

Вершина находится в точке V(0.75; -0.125).

3. Точки пересечения с осями координат.

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = 1$. Это точка M(0; 1).
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Мы уже знаем из условия, что одна из точек пересечения - N(1; 0). Найдем вторую точку, решив уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Корни: $x_1 = \frac{3+1}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{3-1}{4} = 0.5$. Точки пересечения с осью Ox: N(1; 0) и (0.5; 0).

4. Опорные точки. У нас есть точки M(0; 1), N(1; 0), K(3; 10), вершина V(0.75; -0.125) и точка (0.5; 0). Построим график на основе этих данных.

Ответ: График параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ построен выше.