Номер 462, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 462, страница 187.

462 a) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{3}{4} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{8}{x + y} + \frac{4}{x - y} = 3 \\ \frac{2}{x + y} - \frac{4}{x - y} = 2 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{6}{x + y} + \frac{1}{x - y} = 1 \\ \frac{9}{x + y} - \frac{6}{x - y} = -1 \end{cases}$

Указание. Сведите каждое уравнение системы к линейному с помощью подходящей замены.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \end{cases} $$

Введем новые переменные, чтобы свести систему к линейной. Пусть $ u = \frac{1}{x} $ и $ v = \frac{1}{y} $. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = \frac{1}{4} \\ u - v = \frac{3}{4} \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $u$:

$ (u + v) + (u - v) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} $

$ 2u = \frac{4}{4} = 1 $

$ u = \frac{1}{2} $

Подставим значение $u$ в первое уравнение, чтобы найти $v$:

$ \frac{1}{2} + v = \frac{1}{4} $

$ v = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4} $

Теперь выполним обратную замену:

$ u = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{x} \implies x = 2 $

$ v = \frac{1}{y} \implies -\frac{1}{4} = \frac{1}{y} \implies y = -4 $

Ответ: $(2; -4)$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Введем замену: $ u = \frac{1}{x} $ и $ v = \frac{1}{y} $. Система преобразуется к виду:

$$ \begin{cases} 4u + v = \frac{1}{15} \\ 2u - v = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Сложим уравнения системы, чтобы исключить $v$:

$ (4u + v) + (2u - v) = \frac{1}{15} + \frac{1}{3} $

$ 6u = \frac{1}{15} + \frac{5}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $

$ u = \frac{2}{5 \cdot 6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $

Подставим $u$ во второе уравнение системы $2u - v = \frac{1}{3}$:

$ 2 \cdot \frac{1}{15} - v = \frac{1}{3} $

$ \frac{2}{15} - v = \frac{5}{15} $

$ -v = \frac{5}{15} - \frac{2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $

$ v = -\frac{1}{5} $

Возвращаемся к исходным переменным:

$ u = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{15} = \frac{1}{x} \implies x = 15 $

$ v = \frac{1}{y} \implies -\frac{1}{5} = \frac{1}{y} \implies y = -5 $

Ответ: $(15; -5)$

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{8}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{2}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 2 \end{cases} $$

Сделаем замену: $ u = \frac{1}{x+y} $ и $ v = \frac{1}{x-y} $. Получим линейную систему:

$$ \begin{cases} 8u + 4v = 3 \\ 2u - 4v = 2 \end{cases} $$

Сложим уравнения, чтобы найти $u$:

$ (8u + 4v) + (2u - 4v) = 3 + 2 $

$ 10u = 5 $

$ u = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $

Подставим значение $u$ во второе уравнение $2u - 4v = 2$:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} - 4v = 2 $

$ 1 - 4v = 2 $

$ -4v = 1 $

$ v = -\frac{1}{4} $

Выполним обратную замену. Это приведет к новой системе уравнений относительно $x$ и $y$:

$ u = \frac{1}{x+y} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{x+y} \implies x+y = 2 $

$ v = \frac{1}{x-y} \implies -\frac{1}{4} = \frac{1}{x-y} \implies x-y = -4 $

Получили систему:

$$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -4 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$ (x+y) + (x-y) = 2 + (-4) $

$ 2x = -2 \implies x = -1 $

Подставим $x=-1$ в первое уравнение $x+y=2$:

$ -1 + y = 2 \implies y = 3 $

Ответ: $(-1; 3)$

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{6}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 1 \\ \frac{9}{x+y} - \frac{6}{x-y} = -1 \end{cases} $$

Произведем замену: $ u = \frac{1}{x+y} $ и $ v = \frac{1}{x-y} $. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 6u + v = 1 \\ 9u - 6v = -1 \end{cases} $$

Для решения системы методом сложения, умножим первое уравнение на 6:

$ 6(6u+v) = 6 \cdot 1 \implies 36u + 6v = 6 $

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной системы:

$ (36u + 6v) + (9u - 6v) = 6 + (-1) $

$ 45u = 5 $

$ u = \frac{5}{45} = \frac{1}{9} $

Подставим $u = \frac{1}{9}$ в уравнение $6u+v=1$:

$ 6 \cdot \frac{1}{9} + v = 1 $

$ \frac{2}{3} + v = 1 $

$ v = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

Сделаем обратную замену:

$ u = \frac{1}{x+y} \implies \frac{1}{9} = \frac{1}{x+y} \implies x+y = 9 $

$ v = \frac{1}{x-y} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{x-y} \implies x-y = 3 $

Решим полученную систему:

$$ \begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 3 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$ (x+y) + (x-y) = 9 + 3 $

$ 2x = 12 \implies x = 6 $

Подставим $x=6$ в уравнение $x+y=9$:

$ 6 + y = 9 \implies y = 3 $

Ответ: $(6; 3)$