Номер 460, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 460, страница 187.

460 Вернитесь к упражнению 448 и решите каждую систему, сведя её к системе линейных уравнений; для этого воспользуйтесь тем, что левые части одного из уравнений можно разложить на множители.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ x + y = 4 \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов для левой части первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 24 \\ x + y = 4 \end{cases} $

Подставим значение $(x + y)$ из второго уравнения в первое:

$(x - y) \cdot 4 = 24$

$x - y = \frac{24}{4}$

$x - y = 6$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 6 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 4 + 6$

$2x = 10$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 4$, чтобы найти $y$:

$5 + y = 4$

$y = 4 - 5 = -1$

Проверим найденное решение $(5; -1)$:

$5^2 - (-1)^2 = 25 - 1 = 24$

$5 + (-1) = 4$

Решение верное.

Ответ: $(5; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases} $

Разложим на множители левую часть второго уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ (x - y)(x + y) = 3 \end{cases} $

Подставим значение $(x - y)$ из первого уравнения во второе:

$3 \cdot (x + y) = 3$

$x + y = \frac{3}{3}$

$x + y = 1$

Получим систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(x - y) + (x + y) = 3 + 1$

$2x = 4$

$x = 2$

Подставим $x = 2$ в уравнение $x + y = 1$:

$2 + y = 1$

$y = 1 - 2 = -1$

Проверим найденное решение $(2; -1)$:

$2 - (-1) = 2 + 1 = 3$

$2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

Решение верное.

Ответ: $(2; -1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4y^2 = 0 \\ x + 3y = 7 \end{cases} $

Разложим левую часть первого уравнения на множители как разность квадратов: $x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.

Первое уравнение примет вид: $(x - 2y)(x + 2y) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x - 2y = 0$ или $x + 2y = 0$.

Следовательно, исходная система эквивалентна двум системам линейных уравнений.

Первая система:

$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x + 3y = 7 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2y$.

Подставим во второе уравнение: $2y + 3y = 7$, откуда $5y = 7$, то есть $y = \frac{7}{5}$.

Тогда $x = 2 \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{5}$. Первое решение: $(\frac{14}{5}; \frac{7}{5})$.

Вторая система:

$ \begin{cases} x + 2y = 0 \\ x + 3y = 7 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = -2y$.

Подставим во второе уравнение: $-2y + 3y = 7$, откуда $y = 7$.

Тогда $x = -2 \cdot 7 = -14$. Второе решение: $(-14; 7)$.

Проверим оба решения.

Для $(\frac{14}{5}; \frac{7}{5})$: $(\frac{14}{5})^2 - 4(\frac{7}{5})^2 = \frac{196}{25} - \frac{196}{25} = 0$; $\frac{14}{5} + 3(\frac{7}{5}) = \frac{14+21}{5} = 7$.

Для $(-14; 7)$: $(-14)^2 - 4(7)^2 = 196 - 196 = 0$; $-14 + 3(7) = -14+21=7$.

Оба решения верные.

Ответ: $(\frac{14}{5}; \frac{7}{5})$, $(-14; 7)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 9x^2 - y^2 = 0 \\ 2x - y = -5 \end{cases} $

Разложим левую часть первого уравнения на множители: $(3x)^2 - y^2 = (3x - y)(3x + y)$.

Первое уравнение примет вид: $(3x - y)(3x + y) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности: $3x - y = 0$ или $3x + y = 0$.

Рассмотрим две системы линейных уравнений.

Первая система:

$ \begin{cases} 3x - y = 0 \\ 2x - y = -5 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = 3x$. Подставим во второе: $2x - 3x = -5$, откуда $-x = -5$, то есть $x = 5$.

Тогда $y = 3 \cdot 5 = 15$. Первое решение: $(5; 15)$.

Вторая система:

$ \begin{cases} 3x + y = 0 \\ 2x - y = -5 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = -3x$. Подставим во второе: $2x - (-3x) = -5$, откуда $5x = -5$, то есть $x = -1$.

Тогда $y = -3 \cdot (-1) = 3$. Второе решение: $(-1; 3)$.

Проверим оба решения.

Для $(5; 15)$: $9(5)^2 - 15^2 = 9(25) - 225 = 0$; $2(5) - 15 = 10-15=-5$.

Для $(-1; 3)$: $9(-1)^2 - 3^2 = 9 - 9 = 0$; $2(-1) - 3 = -2-3=-5$.

Оба решения верные.

Ответ: $(5; 15)$, $(-1; 3)$.