Номер 461, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 461, страница 187.

Решите систему уравнений (461—463).

461 а)

$\begin{cases}x + y = 4(x - y) \\x^2 - y^2 = 16;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2x - 2y = x + y \\x^2 - y^2 = 8;\end{cases}$

в) $\begin{cases}3(x - y) = x + y \\\frac{x^2 - y^2}{3} = 1;\end{cases}$

г) $\begin{cases}x^2 - y^2 = 10 \\2(x + y) = 5(x - y).\end{cases}$

Указание. а) Введите замену $x + y = a$; $x - y = b$.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4(x - y) \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases}$

Следуя указанию, введем замену переменных. Пусть $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение системы $x + y = 4(x - y)$ в новых переменных запишется как $a = 4b$.

Второе уравнение $x^2 - y^2 = 16$ преобразуем, используя формулу разности квадратов: $(x + y)(x - y) = 16$. В новых переменных это уравнение примет вид $ab = 16$.

Теперь решим систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a = 4b \\ ab = 16 \end{cases}$

Подставим $a$ из первого уравнения во второе: $(4b)b = 16$, что приводит к $4b^2 = 16$, или $b^2 = 4$. Отсюда получаем два возможных значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$:

1. При $b_1 = 2$, $a_1 = 4 \cdot 2 = 8$.

2. При $b_2 = -2$, $a_2 = 4 \cdot (-2) = -8$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 8$, $b = 2$.

$\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Складывая эти два уравнения, получаем $2x = 10$, откуда $x = 5$. Подставив $x = 5$ в первое уравнение, находим $5 + y = 8$, откуда $y = 3$. Первое решение: $(5, 3)$.

Случай 2: $a = -8$, $b = -2$.

$\begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = -2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -10$, откуда $x = -5$. Подставив $x = -5$ в первое уравнение, находим $-5 + y = -8$, откуда $y = -3$. Второе решение: $(-5, -3)$.

Ответ: $(5, 3), (-5, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 2y = x + y \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases}$

Упростим первое уравнение: $2x - x = y + 2y$, что дает $x = 3y$. Однако для единообразия решения воспользуемся методом замены, как в предыдущем пункте. Пусть $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение $2(x - y) = x + y$ в новых переменных запишется как $2b = a$.

Второе уравнение $x^2 - y^2 = 8$ преобразуется в $(x + y)(x - y) = 8$, что дает $ab = 8$.

Решим систему относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a = 2b \\ ab = 8 \end{cases}$

Подставляем $a$ во второе уравнение: $(2b)b = 8 \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4$. Значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Соответствующие значения $a$:

1. При $b_1 = 2$, $a_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

2. При $b_2 = -2$, $a_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 4$, $b = 2$.

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 6 \implies x = 3$. Тогда $3 + y = 4 \implies y = 1$. Решение: $(3, 1)$.

Случай 2: $a = -4$, $b = -2$.

$\begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = -2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -6 \implies x = -3$. Тогда $-3 + y = -4 \implies y = -1$. Решение: $(-3, -1)$.

Ответ: $(3, 1), (-3, -1)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3(x - y) = x + y \\ \frac{x^2 - y^2}{3} = 1 \end{cases}$

Введем замену $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение $3(x - y) = x + y$ превращается в $3b = a$.

Второе уравнение $\frac{x^2 - y^2}{3} = 1$ можно переписать как $x^2 - y^2 = 3$, или $(x + y)(x - y) = 3$. В новых переменных это $ab = 3$.

Решаем систему:

$\begin{cases} a = 3b \\ ab = 3 \end{cases}$

Подставляем $a$ во второе уравнение: $(3b)b = 3 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1$. Значения для $b$: $b_1 = 1$ и $b_2 = -1$.

Соответствующие значения $a$:

1. При $b_1 = 1$, $a_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

2. При $b_2 = -1$, $a_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 3$, $b = 1$.

$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 4 \implies x = 2$. Тогда $2 + y = 3 \implies y = 1$. Решение: $(2, 1)$.

Случай 2: $a = -3$, $b = -1$.

$\begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -1 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -4 \implies x = -2$. Тогда $-2 + y = -3 \implies y = -1$. Решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 10 \\ 2(x + y) = 5(x - y) \end{cases}$

Введем замену $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение $x^2 - y^2 = 10$ преобразуется в $(x + y)(x - y) = 10$, что дает $ab = 10$.

Второе уравнение $2(x + y) = 5(x - y)$ в новых переменных запишется как $2a = 5b$.

Решим систему относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} ab = 10 \\ 2a = 5b \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a = \frac{5}{2}b$. Подставим это выражение в первое уравнение: $(\frac{5}{2}b)b = 10 \implies \frac{5}{2}b^2 = 10 \implies b^2 = 4$. Значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Соответствующие значения $a$:

1. При $b_1 = 2$, $a_1 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5$.

2. При $b_2 = -2$, $a_2 = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 5$, $b = 2$.

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 7 \implies x = 3.5$. Тогда $3.5 + y = 5 \implies y = 1.5$. Решение: $(3.5, 1.5)$.

Случай 2: $a = -5$, $b = -2$.

$\begin{cases} x + y = -5 \\ x - y = -2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -7 \implies x = -3.5$. Тогда $-3.5 + y = -5 \implies y = -1.5$. Решение: $(-3.5, -1.5)$.

Ответ: $(3.5, 1.5), (-3.5, -1.5)$.