Номер 461, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2019 - 2025

Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый

ISBN: 978-5-09-071890-5

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 461, страница 187.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№461 (с. 187)
Условие. №461 (с. 187)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Условие

Решите систему уравнений (461—463).

461 а)

{x+y=4(xy)x2y2=16;\begin{cases}x + y = 4(x - y) \\x^2 - y^2 = 16;\end{cases}

б) {2x2y=x+yx2y2=8;\begin{cases}2x - 2y = x + y \\x^2 - y^2 = 8;\end{cases}

в) {3(xy)=x+yx2y23=1;\begin{cases}3(x - y) = x + y \\\frac{x^2 - y^2}{3} = 1;\end{cases}

г) {x2y2=102(x+y)=5(xy).\begin{cases}x^2 - y^2 = 10 \\2(x + y) = 5(x - y).\end{cases}

Указание. а) Введите замену x+y=ax + y = a; xy=bx - y = b.

Решение 1. №461 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №461 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 2 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 2 (продолжение 3) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 2 (продолжение 4)
Решение 3. №461 (с. 187)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2019, белого цвета, страница 187, номер 461, Решение 3
Решение 4. №461 (с. 187)

а)

Дана система уравнений:

{x+y=4(xy)x2y2=16 \begin{cases} x + y = 4(x - y) \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases}

Следуя указанию, введем замену переменных. Пусть a=x+ya = x + y и b=xyb = x - y.

Первое уравнение системы x+y=4(xy)x + y = 4(x - y) в новых переменных запишется как a=4ba = 4b.

Второе уравнение x2y2=16x^2 - y^2 = 16 преобразуем, используя формулу разности квадратов: (x+y)(xy)=16(x + y)(x - y) = 16. В новых переменных это уравнение примет вид ab=16ab = 16.

Теперь решим систему уравнений относительно aa и bb:

{a=4bab=16 \begin{cases} a = 4b \\ ab = 16 \end{cases}

Подставим aa из первого уравнения во второе: (4b)b=16(4b)b = 16, что приводит к 4b2=164b^2 = 16, или b2=4b^2 = 4. Отсюда получаем два возможных значения для bb: b1=2b_1 = 2 и b2=2b_2 = -2.

Найдем соответствующие значения aa:

1. При b1=2b_1 = 2, a1=42=8a_1 = 4 \cdot 2 = 8.

2. При b2=2b_2 = -2, a2=4(2)=8a_2 = 4 \cdot (-2) = -8.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти xx и yy.

Случай 1: a=8a = 8, b=2b = 2.

{x+y=8xy=2 \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases}

Складывая эти два уравнения, получаем 2x=102x = 10, откуда x=5x = 5. Подставив x=5x = 5 в первое уравнение, находим 5+y=85 + y = 8, откуда y=3y = 3. Первое решение: (5,3)(5, 3).

Случай 2: a=8a = -8, b=2b = -2.

{x+y=8xy=2 \begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = -2 \end{cases}

Складывая уравнения, получаем 2x=102x = -10, откуда x=5x = -5. Подставив x=5x = -5 в первое уравнение, находим 5+y=8-5 + y = -8, откуда y=3y = -3. Второе решение: (5,3)(-5, -3).

Ответ: (5,3),(5,3)(5, 3), (-5, -3).

б)

Дана система уравнений:

{2x2y=x+yx2y2=8 \begin{cases} 2x - 2y = x + y \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases}

Упростим первое уравнение: 2xx=y+2y2x - x = y + 2y, что дает x=3yx = 3y. Однако для единообразия решения воспользуемся методом замены, как в предыдущем пункте. Пусть a=x+ya = x + y и b=xyb = x - y.

Первое уравнение 2(xy)=x+y2(x - y) = x + y в новых переменных запишется как 2b=a2b = a.

Второе уравнение x2y2=8x^2 - y^2 = 8 преобразуется в (x+y)(xy)=8(x + y)(x - y) = 8, что дает ab=8ab = 8.

Решим систему относительно aa и bb:

{a=2bab=8 \begin{cases} a = 2b \\ ab = 8 \end{cases}

Подставляем aa во второе уравнение: (2b)b=8    2b2=8    b2=4(2b)b = 8 \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4. Значения для bb: b1=2b_1 = 2 и b2=2b_2 = -2.

Соответствующие значения aa:

1. При b1=2b_1 = 2, a1=22=4a_1 = 2 \cdot 2 = 4.

2. При b2=2b_2 = -2, a2=2(2)=4a_2 = 2 \cdot (-2) = -4.

Выполним обратную замену.

Случай 1: a=4a = 4, b=2b = 2.

{x+y=4xy=2 \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}

Складывая уравнения, получаем 2x=6    x=32x = 6 \implies x = 3. Тогда 3+y=4    y=13 + y = 4 \implies y = 1. Решение: (3,1)(3, 1).

Случай 2: a=4a = -4, b=2b = -2.

{x+y=4xy=2 \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = -2 \end{cases}

Складывая уравнения, получаем 2x=6    x=32x = -6 \implies x = -3. Тогда 3+y=4    y=1-3 + y = -4 \implies y = -1. Решение: (3,1)(-3, -1).

Ответ: (3,1),(3,1)(3, 1), (-3, -1).

в)

Дана система уравнений:

{3(xy)=x+yx2y23=1 \begin{cases} 3(x - y) = x + y \\ \frac{x^2 - y^2}{3} = 1 \end{cases}

Введем замену a=x+ya = x + y и b=xyb = x - y.

Первое уравнение 3(xy)=x+y3(x - y) = x + y превращается в 3b=a3b = a.

Второе уравнение x2y23=1\frac{x^2 - y^2}{3} = 1 можно переписать как x2y2=3x^2 - y^2 = 3, или (x+y)(xy)=3(x + y)(x - y) = 3. В новых переменных это ab=3ab = 3.

Решаем систему:

{a=3bab=3 \begin{cases} a = 3b \\ ab = 3 \end{cases}

Подставляем aa во второе уравнение: (3b)b=3    3b2=3    b2=1(3b)b = 3 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1. Значения для bb: b1=1b_1 = 1 и b2=1b_2 = -1.

Соответствующие значения aa:

1. При b1=1b_1 = 1, a1=31=3a_1 = 3 \cdot 1 = 3.

2. При b2=1b_2 = -1, a2=3(1)=3a_2 = 3 \cdot (-1) = -3.

Выполним обратную замену.

Случай 1: a=3a = 3, b=1b = 1.

{x+y=3xy=1 \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}

Складывая уравнения, получаем 2x=4    x=22x = 4 \implies x = 2. Тогда 2+y=3    y=12 + y = 3 \implies y = 1. Решение: (2,1)(2, 1).

Случай 2: a=3a = -3, b=1b = -1.

{x+y=3xy=1 \begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -1 \end{cases}

Складывая уравнения, получаем 2x=4    x=22x = -4 \implies x = -2. Тогда 2+y=3    y=1-2 + y = -3 \implies y = -1. Решение: (2,1)(-2, -1).

Ответ: (2,1),(2,1)(2, 1), (-2, -1).

г)

Дана система уравнений:

{x2y2=102(x+y)=5(xy) \begin{cases} x^2 - y^2 = 10 \\ 2(x + y) = 5(x - y) \end{cases}

Введем замену a=x+ya = x + y и b=xyb = x - y.

Первое уравнение x2y2=10x^2 - y^2 = 10 преобразуется в (x+y)(xy)=10(x + y)(x - y) = 10, что дает ab=10ab = 10.

Второе уравнение 2(x+y)=5(xy)2(x + y) = 5(x - y) в новых переменных запишется как 2a=5b2a = 5b.

Решим систему относительно aa и bb:

{ab=102a=5b \begin{cases} ab = 10 \\ 2a = 5b \end{cases}

Из второго уравнения выразим a=52ba = \frac{5}{2}b. Подставим это выражение в первое уравнение: (52b)b=10    52b2=10    b2=4(\frac{5}{2}b)b = 10 \implies \frac{5}{2}b^2 = 10 \implies b^2 = 4. Значения для bb: b1=2b_1 = 2 и b2=2b_2 = -2.

Соответствующие значения aa:

1. При b1=2b_1 = 2, a1=522=5a_1 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5.

2. При b2=2b_2 = -2, a2=52(2)=5a_2 = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5.

Выполним обратную замену.

Случай 1: a=5a = 5, b=2b = 2.

{x+y=5xy=2 \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases}

Складывая уравнения, получаем 2x=7    x=3.52x = 7 \implies x = 3.5. Тогда 3.5+y=5    y=1.53.5 + y = 5 \implies y = 1.5. Решение: (3.5,1.5)(3.5, 1.5).

Случай 2: a=5a = -5, b=2b = -2.

{x+y=5xy=2 \begin{cases} x + y = -5 \\ x - y = -2 \end{cases}

Складывая уравнения, получаем 2x=7    x=3.52x = -7 \implies x = -3.5. Тогда 3.5+y=5    y=1.5-3.5 + y = -5 \implies y = -1.5. Решение: (3.5,1.5)(-3.5, -1.5).

Ответ: (3.5,1.5),(3.5,1.5)(3.5, 1.5), (-3.5, -1.5).

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 461 расположенного на странице 187 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №461 (с. 187), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться