Страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

460 Вернитесь к упражнению 448 и решите каждую систему, сведя её к системе линейных уравнений; для этого воспользуйтесь тем, что левые части одного из уравнений можно разложить на множители.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ x + y = 4 \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов для левой части первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 24 \\ x + y = 4 \end{cases} $

Подставим значение $(x + y)$ из второго уравнения в первое:

$(x - y) \cdot 4 = 24$

$x - y = \frac{24}{4}$

$x - y = 6$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 6 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 4 + 6$

$2x = 10$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 4$, чтобы найти $y$:

$5 + y = 4$

$y = 4 - 5 = -1$

Проверим найденное решение $(5; -1)$:

$5^2 - (-1)^2 = 25 - 1 = 24$

$5 + (-1) = 4$

Решение верное.

Ответ: $(5; -1)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases} $

Разложим на множители левую часть второго уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ (x - y)(x + y) = 3 \end{cases} $

Подставим значение $(x - y)$ из первого уравнения во второе:

$3 \cdot (x + y) = 3$

$x + y = \frac{3}{3}$

$x + y = 1$

Получим систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(x - y) + (x + y) = 3 + 1$

$2x = 4$

$x = 2$

Подставим $x = 2$ в уравнение $x + y = 1$:

$2 + y = 1$

$y = 1 - 2 = -1$

Проверим найденное решение $(2; -1)$:

$2 - (-1) = 2 + 1 = 3$

$2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

Решение верное.

Ответ: $(2; -1)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4y^2 = 0 \\ x + 3y = 7 \end{cases} $

Разложим левую часть первого уравнения на множители как разность квадратов: $x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.

Первое уравнение примет вид: $(x - 2y)(x + 2y) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x - 2y = 0$ или $x + 2y = 0$.

Следовательно, исходная система эквивалентна двум системам линейных уравнений.

Первая система:

$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x + 3y = 7 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2y$.

Подставим во второе уравнение: $2y + 3y = 7$, откуда $5y = 7$, то есть $y = \frac{7}{5}$.

Тогда $x = 2 \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{5}$. Первое решение: $(\frac{14}{5}; \frac{7}{5})$.

Вторая система:

$ \begin{cases} x + 2y = 0 \\ x + 3y = 7 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = -2y$.

Подставим во второе уравнение: $-2y + 3y = 7$, откуда $y = 7$.

Тогда $x = -2 \cdot 7 = -14$. Второе решение: $(-14; 7)$.

Проверим оба решения.

Для $(\frac{14}{5}; \frac{7}{5})$: $(\frac{14}{5})^2 - 4(\frac{7}{5})^2 = \frac{196}{25} - \frac{196}{25} = 0$; $\frac{14}{5} + 3(\frac{7}{5}) = \frac{14+21}{5} = 7$.

Для $(-14; 7)$: $(-14)^2 - 4(7)^2 = 196 - 196 = 0$; $-14 + 3(7) = -14+21=7$.

Оба решения верные.

Ответ: $(\frac{14}{5}; \frac{7}{5})$, $(-14; 7)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 9x^2 - y^2 = 0 \\ 2x - y = -5 \end{cases} $

Разложим левую часть первого уравнения на множители: $(3x)^2 - y^2 = (3x - y)(3x + y)$.

Первое уравнение примет вид: $(3x - y)(3x + y) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности: $3x - y = 0$ или $3x + y = 0$.

Рассмотрим две системы линейных уравнений.

Первая система:

$ \begin{cases} 3x - y = 0 \\ 2x - y = -5 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = 3x$. Подставим во второе: $2x - 3x = -5$, откуда $-x = -5$, то есть $x = 5$.

Тогда $y = 3 \cdot 5 = 15$. Первое решение: $(5; 15)$.

Вторая система:

$ \begin{cases} 3x + y = 0 \\ 2x - y = -5 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = -3x$. Подставим во второе: $2x - (-3x) = -5$, откуда $5x = -5$, то есть $x = -1$.

Тогда $y = -3 \cdot (-1) = 3$. Второе решение: $(-1; 3)$.

Проверим оба решения.

Для $(5; 15)$: $9(5)^2 - 15^2 = 9(25) - 225 = 0$; $2(5) - 15 = 10-15=-5$.

Для $(-1; 3)$: $9(-1)^2 - 3^2 = 9 - 9 = 0$; $2(-1) - 3 = -2-3=-5$.

Оба решения верные.

Ответ: $(5; 15)$, $(-1; 3)$.

Решите систему уравнений (461—463).

461 а)

$\begin{cases}x + y = 4(x - y) \\x^2 - y^2 = 16;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2x - 2y = x + y \\x^2 - y^2 = 8;\end{cases}$

в) $\begin{cases}3(x - y) = x + y \\\frac{x^2 - y^2}{3} = 1;\end{cases}$

г) $\begin{cases}x^2 - y^2 = 10 \\2(x + y) = 5(x - y).\end{cases}$

Указание. а) Введите замену $x + y = a$; $x - y = b$.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4(x - y) \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases} $

Следуя указанию, введем замену переменных. Пусть $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение системы $x + y = 4(x - y)$ в новых переменных запишется как $a = 4b$.

Второе уравнение $x^2 - y^2 = 16$ преобразуем, используя формулу разности квадратов: $(x + y)(x - y) = 16$. В новых переменных это уравнение примет вид $ab = 16$.

Теперь решим систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a = 4b \\ ab = 16 \end{cases} $

Подставим $a$ из первого уравнения во второе: $(4b)b = 16$, что приводит к $4b^2 = 16$, или $b^2 = 4$. Отсюда получаем два возможных значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$:

1. При $b_1 = 2$, $a_1 = 4 \cdot 2 = 8$.

2. При $b_2 = -2$, $a_2 = 4 \cdot (-2) = -8$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 8$, $b = 2$.

$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Складывая эти два уравнения, получаем $2x = 10$, откуда $x = 5$. Подставив $x = 5$ в первое уравнение, находим $5 + y = 8$, откуда $y = 3$. Первое решение: $(5, 3)$.

Случай 2: $a = -8$, $b = -2$.

$ \begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = -2 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = -10$, откуда $x = -5$. Подставив $x = -5$ в первое уравнение, находим $-5 + y = -8$, откуда $y = -3$. Второе решение: $(-5, -3)$.

Ответ: $(5, 3), (-5, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 2y = x + y \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases} $

Упростим первое уравнение: $2x - x = y + 2y$, что дает $x = 3y$. Однако для единообразия решения воспользуемся методом замены, как в предыдущем пункте. Пусть $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение $2(x - y) = x + y$ в новых переменных запишется как $2b = a$.

Второе уравнение $x^2 - y^2 = 8$ преобразуется в $(x + y)(x - y) = 8$, что дает $ab = 8$.

Решим систему относительно $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a = 2b \\ ab = 8 \end{cases} $

Подставляем $a$ во второе уравнение: $(2b)b = 8 \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4$. Значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Соответствующие значения $a$:

1. При $b_1 = 2$, $a_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

2. При $b_2 = -2$, $a_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 4$, $b = 2$.

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = 6 \implies x = 3$. Тогда $3 + y = 4 \implies y = 1$. Решение: $(3, 1)$.

Случай 2: $a = -4$, $b = -2$.

$ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = -2 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = -6 \implies x = -3$. Тогда $-3 + y = -4 \implies y = -1$. Решение: $(-3, -1)$.

Ответ: $(3, 1), (-3, -1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3(x - y) = x + y \\ \frac{x^2 - y^2}{3} = 1 \end{cases} $

Введем замену $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение $3(x - y) = x + y$ превращается в $3b = a$.

Второе уравнение $\frac{x^2 - y^2}{3} = 1$ можно переписать как $x^2 - y^2 = 3$, или $(x + y)(x - y) = 3$. В новых переменных это $ab = 3$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} a = 3b \\ ab = 3 \end{cases} $

Подставляем $a$ во второе уравнение: $(3b)b = 3 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1$. Значения для $b$: $b_1 = 1$ и $b_2 = -1$.

Соответствующие значения $a$:

1. При $b_1 = 1$, $a_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

2. При $b_2 = -1$, $a_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 3$, $b = 1$.

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = 4 \implies x = 2$. Тогда $2 + y = 3 \implies y = 1$. Решение: $(2, 1)$.

Случай 2: $a = -3$, $b = -1$.

$ \begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = -4 \implies x = -2$. Тогда $-2 + y = -3 \implies y = -1$. Решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 10 \\ 2(x + y) = 5(x - y) \end{cases} $

Введем замену $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение $x^2 - y^2 = 10$ преобразуется в $(x + y)(x - y) = 10$, что дает $ab = 10$.

Второе уравнение $2(x + y) = 5(x - y)$ в новых переменных запишется как $2a = 5b$.

Решим систему относительно $a$ и $b$:

$ \begin{cases} ab = 10 \\ 2a = 5b \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $a = \frac{5}{2}b$. Подставим это выражение в первое уравнение: $(\frac{5}{2}b)b = 10 \implies \frac{5}{2}b^2 = 10 \implies b^2 = 4$. Значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Соответствующие значения $a$:

1. При $b_1 = 2$, $a_1 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5$.

2. При $b_2 = -2$, $a_2 = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 5$, $b = 2$.

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = 7 \implies x = 3.5$. Тогда $3.5 + y = 5 \implies y = 1.5$. Решение: $(3.5, 1.5)$.

Случай 2: $a = -5$, $b = -2$.

$ \begin{cases} x + y = -5 \\ x - y = -2 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = -7 \implies x = -3.5$. Тогда $-3.5 + y = -5 \implies y = -1.5$. Решение: $(-3.5, -1.5)$.

Ответ: $(3.5, 1.5), (-3.5, -1.5)$.

462 a) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{3}{4} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{8}{x + y} + \frac{4}{x - y} = 3 \\ \frac{2}{x + y} - \frac{4}{x - y} = 2 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{6}{x + y} + \frac{1}{x - y} = 1 \\ \frac{9}{x + y} - \frac{6}{x - y} = -1 \end{cases}$

Указание. Сведите каждое уравнение системы к линейному с помощью подходящей замены.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \end{cases} $$

Введем новые переменные, чтобы свести систему к линейной. Пусть $ u = \frac{1}{x} $ и $ v = \frac{1}{y} $. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = \frac{1}{4} \\ u - v = \frac{3}{4} \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $u$:

$ (u + v) + (u - v) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} $

$ 2u = \frac{4}{4} = 1 $

$ u = \frac{1}{2} $

Подставим значение $u$ в первое уравнение, чтобы найти $v$:

$ \frac{1}{2} + v = \frac{1}{4} $

$ v = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4} $

Теперь выполним обратную замену:

$ u = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{x} \implies x = 2 $

$ v = \frac{1}{y} \implies -\frac{1}{4} = \frac{1}{y} \implies y = -4 $

Ответ: $(2; -4)$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Введем замену: $ u = \frac{1}{x} $ и $ v = \frac{1}{y} $. Система преобразуется к виду:

$$ \begin{cases} 4u + v = \frac{1}{15} \\ 2u - v = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Сложим уравнения системы, чтобы исключить $v$:

$ (4u + v) + (2u - v) = \frac{1}{15} + \frac{1}{3} $

$ 6u = \frac{1}{15} + \frac{5}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $

$ u = \frac{2}{5 \cdot 6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $

Подставим $u$ во второе уравнение системы $2u - v = \frac{1}{3}$:

$ 2 \cdot \frac{1}{15} - v = \frac{1}{3} $

$ \frac{2}{15} - v = \frac{5}{15} $

$ -v = \frac{5}{15} - \frac{2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $

$ v = -\frac{1}{5} $

Возвращаемся к исходным переменным:

$ u = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{15} = \frac{1}{x} \implies x = 15 $

$ v = \frac{1}{y} \implies -\frac{1}{5} = \frac{1}{y} \implies y = -5 $

Ответ: $(15; -5)$

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{8}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{2}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 2 \end{cases} $$

Сделаем замену: $ u = \frac{1}{x+y} $ и $ v = \frac{1}{x-y} $. Получим линейную систему:

$$ \begin{cases} 8u + 4v = 3 \\ 2u - 4v = 2 \end{cases} $$

Сложим уравнения, чтобы найти $u$:

$ (8u + 4v) + (2u - 4v) = 3 + 2 $

$ 10u = 5 $

$ u = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $

Подставим значение $u$ во второе уравнение $2u - 4v = 2$:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} - 4v = 2 $

$ 1 - 4v = 2 $

$ -4v = 1 $

$ v = -\frac{1}{4} $

Выполним обратную замену. Это приведет к новой системе уравнений относительно $x$ и $y$:

$ u = \frac{1}{x+y} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{x+y} \implies x+y = 2 $

$ v = \frac{1}{x-y} \implies -\frac{1}{4} = \frac{1}{x-y} \implies x-y = -4 $

Получили систему:

$$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -4 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$ (x+y) + (x-y) = 2 + (-4) $

$ 2x = -2 \implies x = -1 $

Подставим $x=-1$ в первое уравнение $x+y=2$:

$ -1 + y = 2 \implies y = 3 $

Ответ: $(-1; 3)$

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{6}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 1 \\ \frac{9}{x+y} - \frac{6}{x-y} = -1 \end{cases} $$

Произведем замену: $ u = \frac{1}{x+y} $ и $ v = \frac{1}{x-y} $. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 6u + v = 1 \\ 9u - 6v = -1 \end{cases} $$

Для решения системы методом сложения, умножим первое уравнение на 6:

$ 6(6u+v) = 6 \cdot 1 \implies 36u + 6v = 6 $

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной системы:

$ (36u + 6v) + (9u - 6v) = 6 + (-1) $

$ 45u = 5 $

$ u = \frac{5}{45} = \frac{1}{9} $

Подставим $u = \frac{1}{9}$ в уравнение $6u+v=1$:

$ 6 \cdot \frac{1}{9} + v = 1 $

$ \frac{2}{3} + v = 1 $

$ v = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

Сделаем обратную замену:

$ u = \frac{1}{x+y} \implies \frac{1}{9} = \frac{1}{x+y} \implies x+y = 9 $

$ v = \frac{1}{x-y} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{x-y} \implies x-y = 3 $

Решим полученную систему:

$$ \begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 3 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$ (x+y) + (x-y) = 9 + 3 $

$ 2x = 12 \implies x = 6 $

Подставим $x=6$ в уравнение $x+y=9$:

$ 6 + y = 9 \implies y = 3 $

Ответ: $(6; 3)$

463 a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy - y = 1 \\ xy + x = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy + x^2 = 1 \\ xy - x^2 = \frac{1}{2}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y + xy = -6 \\ x + y - xy = 10. \end{cases}$

Указание. Воспользуйтесь методом сложения.

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения, как указано в задании. Сложим первое и второе уравнения системы:
$ (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 25 + 7 $
$ 2x^2 = 32 $
$ x^2 = 16 $
Отсюда находим возможные значения для $x$: $ x = 4 $ или $ x = -4 $.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$ (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 25 - 7 $
$ 2y^2 = 18 $
$ y^2 = 9 $
Отсюда находим возможные значения для $y$: $ y = 3 $ или $ y = -3 $.
Поскольку в уравнения входят только $x^2$ и $y^2$, любая комбинация полученных значений $x$ и $y$ будет решением системы. Таким образом, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(4, 3), (4, -3), (-4, 3), (-4, -3)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy - y = 1 \\ xy + x = 4 \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения (в данном случае, вычитания). Вычтем первое уравнение из второго:
$ (xy + x) - (xy - y) = 4 - 1 $
$ x + y = 3 $
Из этого уравнения выразим $y$ через $x$: $ y = 3 - x $.
Теперь подставим это выражение в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$ x(3 - x) - (3 - x) = 1 $
$ 3x - x^2 - 3 + x = 1 $
Приведем подобные члены и перенесем все в одну часть:
$ -x^2 + 4x - 4 = 0 $
Умножим уравнение на $-1$:
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
Это полный квадрат:
$ (x - 2)^2 = 0 $
Отсюда $ x = 2 $.
Найдем соответствующее значение $y$:
$ y = 3 - x = 3 - 2 = 1 $.
Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: $(2, 1)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy + x^2 = 1 \\ xy - x^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $
Используем метод сложения. Сложим два уравнения:
$ (xy + x^2) + (xy - x^2) = 1 + \frac{1}{2} $
$ 2xy = \frac{3}{2} $
$ xy = \frac{3}{4} $.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$ (xy + x^2) - (xy - x^2) = 1 - \frac{1}{2} $
$ 2x^2 = \frac{1}{2} $
$ x^2 = \frac{1}{4} $
Отсюда $ x = \frac{1}{2} $ или $ x = -\frac{1}{2} $.
Найдем соответствующие значения $y$, используя полученное ранее соотношение $xy = \frac{3}{4}$, или $y = \frac{3}{4x}$.
1. Если $ x = \frac{1}{2} $, то $ y = \frac{3}{4 \cdot (\frac{1}{2})} = \frac{3}{2} $.
2. Если $ x = -\frac{1}{2} $, то $ y = \frac{3}{4 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{3}{2} $.
Система имеет две пары решений.
Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}), (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y + xy = -6 \\ x + y - xy = 10 \end{cases} $
Применим метод сложения. Сложим оба уравнения:
$ (x + y + xy) + (x + y - xy) = -6 + 10 $
$ 2x + 2y = 4 $
$ 2(x + y) = 4 $
$ x + y = 2 $.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$ (x + y + xy) - (x + y - xy) = -6 - 10 $
$ 2xy = -16 $
$ xy = -8 $.
Таким образом, мы получили новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ xy = -8 \end{cases} $
По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим найденные значения суммы и произведения:
$ t^2 - 2t - 8 = 0 $.
Решим это квадратное уравнение. Можно найти корни подбором: $t_1 = 4, t_2 = -2$. (Проверка: $4+(-2)=2$, $4 \cdot (-2)=-8$).
Это означает, что переменные $x$ и $y$ принимают эти значения. Если $x=4$, то $y=-2$, и наоборот, если $x=-2$, то $y=4$.
Ответ: $(4, -2), (-2, 4)$.

464 Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $M(0; 1)$, $N(1; 0)$ и $K(3; 10)$. Задайте эту параболу уравнением и постройте её.

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 5.

Задайте эту параболу уравнением

Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$, мы подставим координаты данных точек M(0; 1), N(1; 0) и K(3; 10) в это уравнение. Это даст нам систему из трех уравнений.

1. Подставляем координаты точки M(0; 1):

$1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$

Из этого уравнения сразу находим $c$:

$c = 1$

2. Подставляем координаты точки N(1; 0):

$0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c$

$0 = a + b + c$

Так как мы уже знаем, что $c=1$, подставляем это значение в уравнение:

$a + b + 1 = 0$

$a + b = -1$ (Уравнение 1)

3. Подставляем координаты точки K(3; 10):

$10 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c$

$10 = 9a + 3b + c$

Подставляем $c=1$:

$10 = 9a + 3b + 1$

$9a + 3b = 9$

Разделим обе части последнего уравнения на 3, чтобы упростить его:

$3a + b = 3$ (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = -1 \\ 3a + b = 3 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(3a + b) - (a + b) = 3 - (-1)$

$2a = 4$

$a = 2$

Подставим найденное значение $a=2$ в первое уравнение системы ($a + b = -1$):

$2 + b = -1$

$b = -1 - 2$

$b = -3$

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.

Ответ: Уравнение параболы: $y = 2x^2 - 3x + 1$.

Постройте её

Для построения графика параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ найдем её ключевые характеристики.

1. Направление ветвей. Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$

$y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) + 1 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{1}{8} = -0.125$

Вершина находится в точке V(0.75; -0.125).

3. Точки пересечения с осями координат.

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = 1$. Это точка M(0; 1).
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Мы уже знаем из условия, что одна из точек пересечения - N(1; 0). Найдем вторую точку, решив уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Корни: $x_1 = \frac{3+1}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{3-1}{4} = 0.5$. Точки пересечения с осью Ox: N(1; 0) и (0.5; 0).

4. Опорные точки. У нас есть точки M(0; 1), N(1; 0), K(3; 10), вершина V(0.75; -0.125) и точка (0.5; 0). Построим график на основе этих данных.

Ответ: График параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ построен выше.

465 Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $A(0; 3)$, $B(-1; 0)$ и $C(1; 4)$.

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку $M(4; -5)$; точку $N(-4; -5)$.

2) Запишите уравнение прямой, которая пересекает параболу в точках $B$ и $C$.

Для решения задачи сначала необходимо найти уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, используя координаты точек, через которые она проходит: A(0; 3), B(-1; 0) и C(1; 4).

Подставим координаты каждой точки в уравнение параболы, чтобы получить систему уравнений для коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Для точки A(0; 3):
$3 = a \cdot (0)^2 + b \cdot (0) + c \implies c = 3$

Для точки B(-1; 0):
$0 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \implies 0 = a - b + c$
Подставив $c=3$, получаем: $a - b = -3$

Для точки C(1; 4):
$4 = a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c \implies 4 = a + b + c$
Подставив $c=3$, получаем: $a + b = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a - b = -3 \\ a + b = 1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(a - b) + (a + b) = -3 + 1$, что дает $2a = -2$, и отсюда $a = -1$.

Подставим значение $a = -1$ во второе уравнение: $-1 + b = 1$, откуда $b = 2$.

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$. Уравнение параболы: $y = -x^2 + 2x + 3$.

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку M(4; -5); точку N(-4; -5).

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты в уравнение.

Для точки M(4; -5):
Подставляем $x = 4$ в уравнение параболы: $y = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5$.
Так как полученное значение $y = -5$ совпадает с ординатой точки M, парабола проходит через точку M.

Для точки N(-4; -5):
Подставляем $x = -4$ в уравнение параболы: $y = -(-4)^2 + 2(-4) + 3 = -16 - 8 + 3 = -21$.
Полученное значение $y = -21$ не совпадает с ординатой точки N, равной -5. Следовательно, парабола не проходит через точку N.

Ответ: парабола проходит через точку M(4; -5) и не проходит через точку N(-4; -5).

2) Запишите уравнение прямой, которая пересекает параболу в точках B и C.

Требуется найти уравнение прямой, проходящей через две точки: B(-1; 0) и C(1; 4). Уравнение прямой имеет вид $y = kx + m$.

Сначала найдем угловой коэффициент (наклон) прямой $k$:
$k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - 0}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь уравнение прямой имеет вид $y = 2x + m$. Для нахождения $m$ подставим координаты одной из точек, например, C(1; 4):
$4 = 2(1) + m$
$4 = 2 + m$
$m = 2$

Итак, уравнение искомой прямой: $y = 2x + 2$.

Ответ: $y = 2x + 2$.