Страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

444 Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = 0 \\ xy = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y + x^2 = 4 \\ y - x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y - x = 0 \\ y = 4x - x^2. \end{cases}$

а)

Для решения системы $ \begin{cases} x - y = 0 \\ xy = 4 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Первое уравнение, $x - y = 0$, можно переписать как $y = x$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат (0, 0) и, например, через точки (2, 2) и (-2, -2).

2. Второе уравнение, $xy = 4$, можно переписать как $y = \frac{4}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах. Ось абсцисс и ось ординат являются асимптотами для этой гиперболы. Для построения можно взять точки: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1).

Построив оба графика, мы ищем точки их пересечения. Видно, что графики пересекаются в двух точках. Координаты точек пересечения являются решениями системы. Из графика находим, что это точки с координатами (2, 2) и (-2, -2).

Ответ: (2, 2), (-2, -2).

б)

Рассмотрим систему $ \begin{cases} y + x^2 = 4 \\ y - x = 2 \end{cases} $ . Преобразуем уравнения для построения графиков.

1. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4 - x^2$ или $y = -x^2 + 4$. Это уравнение параболы. Ее ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0, 4). Парабола пересекает ось $x$ в точках, где $y=0$, то есть $-x^2 + 4 = 0$, откуда $x = 2$ и $x = -2$.

2. Из второго уравнения также выразим $y$: $y = x + 2$. Это уравнение прямой. Для построения найдем две точки. Если $x=0$, то $y=2$ (точка (0, 2)). Если $y=0$, то $x=-2$ (точка (-2, 0)).

Построим графики параболы $y = -x^2 + 4$ и прямой $y = x + 2$ в одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков будут решениями системы. Из графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты: (-2, 0) и (1, 3).

Ответ: (-2, 0), (1, 3).

в)

Решим графически систему $ \begin{cases} y - x = 0 \\ y = 4x - x^2 \end{cases} $ .

1. Первое уравнение, $y - x = 0$, эквивалентно $y = x$. Это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси абсцисс, биссектриса I и III координатных четвертей.

2. Второе уравнение, $y = 4x - x^2$ или $y = -x^2 + 4x$, задает параболу с ветвями, направленными вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. Тогда $y_в = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$. Вершина находится в точке (2, 4). Парабола пересекает ось $x$ в точках, где $y=0$: $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4-x)=0$, то есть в точках (0, 0) и (4, 0).

Построим графики прямой $y=x$ и параболы $y = -x^2 + 4x$. Точки пересечения этих двух графиков и будут решением системы. Одна точка пересечения очевидна — это начало координат (0, 0). Вторая точка пересечения, как видно из графика, имеет координаты (3, 3).

Ответ: (0, 0), (3, 3).

445 Решите систему линейных уравнений:

a) $\begin{cases} x + 3y = 8 \\ 2x - y = -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3m - 4n = 20 \\ m + 2n = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x+z}{2} = 1 \\ x - z = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2x + 5y = -3 \\ 4x + 3y = -27; \end{cases}$

д) $\begin{cases} t - 5s = 0 \\ 2t - s = 9; \end{cases}$

е) $\begin{cases} \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = \frac{1}{2} \\ 2y + 3z = 1. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 3y = 8 \\ 2x - y = -5 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 8 - 3y$
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$2(8 - 3y) - y = -5$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$16 - 6y - y = -5$
$16 - 7y = -5$
$-7y = -5 - 16$
$-7y = -21$
$y = \frac{-21}{-7} = 3$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 8 - 3 \cdot 3 = 8 - 9 = -1$

Ответ: $x = -1, y = 3$.

б) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3m - 4n = 20 \\ m + 2n = 0 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $m$:
$m = -2n$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3(-2n) - 4n = 20$
Решим уравнение относительно $n$:
$-6n - 4n = 20$
$-10n = 20$
$n = \frac{20}{-10} = -2$
Теперь найдем $m$, подставив значение $n$ в выражение для $m$:
$m = -2(-2) = 4$

Ответ: $m = 4, n = -2$.

в) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x+z}{2} = 1 \\ x - z = 3 \end{cases} $$ Сначала упростим первое уравнение, умножив обе его части на 2:
$x + z = 2$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} x + z = 2 \\ x - z = 3 \end{cases} $$ Используем метод сложения. Сложим два уравнения:
$(x + z) + (x - z) = 2 + 3$
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2.5$
Подставим значение $x$ в первое упрощенное уравнение, чтобы найти $z$:
$2.5 + z = 2$
$z = 2 - 2.5 = -0.5$

Ответ: $x = 2.5, z = -0.5$.

г) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 5y = -3 \\ 4x + 3y = -27 \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$-2(2x + 5y) = -2(-3) \implies -4x - 10y = 6$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-4x - 10y) + (4x + 3y) = 6 + (-27)$
$-7y = -21$
$y = \frac{-21}{-7} = 3$
Подставим значение $y$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:
$2x + 5(3) = -3$
$2x + 15 = -3$
$2x = -3 - 15$
$2x = -18$
$x = \frac{-18}{2} = -9$

Ответ: $x = -9, y = 3$.

д) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} t - 5s = 0 \\ 2t - s = 9 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $t$:
$t = 5s$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(5s) - s = 9$
$10s - s = 9$
$9s = 9$
$s = 1$
Теперь найдем $t$, подставив значение $s$ в выражение для $t$:
$t = 5 \cdot 1 = 5$

Ответ: $t = 5, s = 1$.

е) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = \frac{1}{2} \\ 2y + 3z = 1 \end{cases} $$ Упростим первое уравнение, умножив обе его части на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2):
$6 \cdot (\frac{y}{3} - \frac{z}{2}) = 6 \cdot \frac{1}{2}$
$2y - 3z = 3$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} 2y - 3z = 3 \\ 2y + 3z = 1 \end{cases} $$ Используем метод сложения. Сложим два уравнения:
$(2y - 3z) + (2y + 3z) = 3 + 1$
$4y = 4$
$y = 1$
Подставим значение $y$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $z$:
$2(1) + 3z = 1$
$2 + 3z = 1$
$3z = 1 - 2$
$3z = -1$
$z = -\frac{1}{3}$

Ответ: $y = 1, z = -\frac{1}{3}$.

Решите систему уравнений способом подстановки, воспользовавшись в качестве образца примером 3 (446–448).

446 a)

б)

в)

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -11, \\ xy = -12. \end{cases} $

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = -11 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x(-11 - x) = -12$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:

$-11x - x^2 = -12$

$x^2 + 11x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 13}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 13}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Мы нашли два возможных значения для $x$. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение $y$, используя выражение $y = -11 - x$:

1) Если $x_1 = -12$, то $y_1 = -11 - (-12) = -11 + 12 = 1$.

2) Если $x_2 = 1$, то $y_2 = -11 - 1 = -12$.

Таким образом, система имеет два решения, которые представляют собой пары чисел $(x; y)$.

Ответ: $(-12; 1)$, $(1; -12)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xz = -14, \\ x - z = 9. \end{cases} $

Выразим переменную $x$ из второго уравнения, так как это проще всего:

$x = 9 + z$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(9 + z)z = -14$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$9z + z^2 = -14$

$z^2 + 9z + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $z$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 = 5^2$

Найдем корни уравнения:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь для каждого найденного значения $z$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 9 + z$:

1) Если $z_1 = -7$, то $x_1 = 9 + (-7) = 2$.

2) Если $z_2 = -2$, то $x_2 = 9 + (-2) = 7$.

Система имеет два решения в виде пар чисел $(x; z)$.

Ответ: $(2; -7)$, $(7; -2)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} u + v = 12, \\ 2uv = 70. \end{cases} $

Сначала можно упростить второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$uv = 35$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} u + v = 12, \\ uv = 35. \end{cases} $

Выразим переменную $u$ из первого уравнения:

$u = 12 - v$

Подставим это выражение для $u$ во второе (упрощенное) уравнение:

$(12 - v)v = 35$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$12v - v^2 = 35$

$v^2 - 12v + 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $v$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4 = 2^2$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$v_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь для каждого значения $v$ найдем соответствующее значение $u$ по формуле $u = 12 - v$:

1) Если $v_1 = 5$, то $u_1 = 12 - 5 = 7$.

2) Если $v_2 = 7$, то $u_2 = 12 - 7 = 5$.

Система имеет два решения в виде пар чисел $(u; v)$.

Ответ: $(7; 5)$, $(5; 7)$.

447 a) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\x - y = 1;\end{cases}$

Б) $\begin{cases}2x - y = 9 \\x^2 - y^2 = 15;\end{cases}$

В) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 101 \\x + y = 11;\end{cases}$

Г) $\begin{cases}x^2 - xy = 10 \\3x + y = 3;\end{cases}$

Д) $\begin{cases}x - y = 1 \\x^2 + 2xy = 40;\end{cases}$

e) $\begin{cases}x^2 - y^2 = 64 \\3x + 5y = 0.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 1)^2 + y^2 = 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5$

$2y^2 + 2y - 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$y_1 = 1$, $y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x = y + 1$:

1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.

2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$.

Таким образом, система имеет два решения: $(2, 1)$ и $(-1, -2)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-1, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 9 \\ x^2 - y^2 = 15 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2x - 9$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - (2x - 9)^2 = 15$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - (4x^2 - 36x + 81) = 15$

$x^2 - 4x^2 + 36x - 81 = 15$

$-3x^2 + 36x - 96 = 0$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x^2 - 12x + 32 = 0$

Решим квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x - 9$:

1. Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2(4) - 9 = 8 - 9 = -1$.

2. Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 2(8) - 9 = 16 - 9 = 7$.

Система имеет два решения: $(4, -1)$ и $(8, 7)$.

Ответ: $(4, -1)$, $(8, 7)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 101 \\ x + y = 11 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 11 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (11 - x)^2 = 101$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 121 - 22x + x^2 = 101$

$2x^2 - 22x + 121 - 101 = 0$

$2x^2 - 22x + 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 11x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 10$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 11 - x$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 11 - 1 = 10$.

2. Если $x_2 = 10$, то $y_2 = 11 - 10 = 1$.

Система имеет два решения: $(1, 10)$ и $(10, 1)$.

Ответ: $(1, 10)$, $(10, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy = 10 \\ 3x + y = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 3 - 3x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - x(3 - 3x) = 10$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 3x + 3x^2 = 10$

$4x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4(4)(-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 13}{8}$

$x_1 = \frac{3 + 13}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 13}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 3 - 3x$:

1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3$.

2. Если $x_2 = -\frac{5}{4}$, то $y_2 = 3 - 3(-\frac{5}{4}) = 3 + \frac{15}{4} = \frac{12}{4} + \frac{15}{4} = \frac{27}{4}$.

Система имеет два решения: $(2, -3)$ и $(-\frac{5}{4}, \frac{27}{4})$.

Ответ: $(2, -3)$, $(-\frac{5}{4}, \frac{27}{4})$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + 2xy = 40 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 1 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(1 + y)^2 + 2(1 + y)y = 40$

Раскроем скобки и упростим:

$(1 + 2y + y^2) + (2y + 2y^2) = 40$

$3y^2 + 4y + 1 = 40$

$3y^2 + 4y - 39 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 4^2 - 4(3)(-39) = 16 + 468 = 484 = 22^2$

$y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{484}}{2(3)} = \frac{-4 \pm 22}{6}$

$y_1 = \frac{-4 + 22}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-4 - 22}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 1 + y$:

1. Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 1 + 3 = 4$.

2. Если $y_2 = -\frac{13}{3}$, то $x_2 = 1 + (-\frac{13}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{13}{3} = -\frac{10}{3}$.

Система имеет два решения: $(4, 3)$ и $(-\frac{10}{3}, -\frac{13}{3})$.

Ответ: $(4, 3)$, $(-\frac{10}{3}, -\frac{13}{3})$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 64 \\ 3x + 5y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$:

$3x = -5y \Rightarrow x = -\frac{5}{3}y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(-\frac{5}{3}y)^2 - y^2 = 64$

Упростим полученное уравнение:

$\frac{25}{9}y^2 - y^2 = 64$

$(\frac{25}{9} - 1)y^2 = 64$

$(\frac{25 - 9}{9})y^2 = 64$

$\frac{16}{9}y^2 = 64$

Выразим $y^2$:

$y^2 = 64 \cdot \frac{9}{16} = 4 \cdot 9 = 36$

Отсюда находим значения $y$:

$y_1 = 6$, $y_2 = -6$

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = -\frac{5}{3}y$:

1. Если $y_1 = 6$, то $x_1 = -\frac{5}{3}(6) = -10$.

2. Если $y_2 = -6$, то $x_2 = -\frac{5}{3}(-6) = 10$.

Система имеет два решения: $(-10, 6)$ и $(10, -6)$.

Ответ: $(-10, 6)$, $(10, -6)$.

448 a) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - xy = 4 \\ x - y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ 2x - 2y = -4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Воспользуемся формулой разности квадратов для первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Получим систему: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 21 \\ x + y = 3 \end{cases} $$

Подставим значение $x + y$ из второго уравнения в первое:
$(x - y) \cdot 3 = 21$

Разделим обе части уравнения на 3:
$x - y = \frac{21}{3}$
$x - y = 7$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 7 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 3 + 7$
$2x = 10$
$x = 5$

Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение $x + y = 3$:
$5 + y = 3$
$y = 3 - 5$
$y = -2$

Проверим решение:
$5^2 - (-2)^2 = 25 - 4 = 21$
$5 + (-2) = 3$
Решение верное.

Ответ: $(5; -2)$

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - xy = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ В первом уравнении вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - y) = 4$

Теперь подставим значение $x - y$ из второго уравнения в преобразованное первое:
$x \cdot 1 = 4$
$x = 4$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение $x - y = 1$:
$4 - y = 1$
$-y = 1 - 4$
$-y = -3$
$y = 3$

Проверим решение:
$4^2 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$
$4 - 3 = 1$
Решение верное.

Ответ: $(4; 3)$

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ 2x - 2y = -4 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:
$\frac{2(x - y)}{2} = \frac{-4}{2}$
$x - y = -2$

Первое уравнение разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Теперь мы можем подставить полученное выражение $x - y = -2$ в разложенное первое уравнение:
$(-2)(x + y) = 8$

Разделим обе части на -2, чтобы найти $x + y$:
$x + y = \frac{8}{-2}$
$x + y = -4$

Теперь решаем систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = -4 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения:
$(x - y) + (x + y) = -2 + (-4)$
$2x = -6$
$x = -3$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = -4$:
$-3 + y = -4$
$y = -4 + 3$
$y = -1$

Проверим решение:
$(-3)^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8$
$2(-3) - 2(-1) = -6 + 2 = -4$
Решение верное.

Ответ: $(-3; -1)$

449 Решите систему уравнений способом сложения:

a) $ \begin{cases} x^2 + y = 0 \\ 3x - y = 10; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} u + v^2 = -3 \\ u - 5v = -3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 2s^2 - t = 2 \\ s + 2t = 14; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x - z = 3 \\ 4x^2 - 2z = 6; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} 6z + 2y = 12 \\ 2z^2 - 3y = -7; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} 2y + x = -2 \\ 2y^2 - 3x = 6. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y = 0 \\ 3x - y = 10 \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений, чтобы исключить переменную y:

$(x^2 + y) + (3x - y) = 0 + 10$

$x^2 + 3x = 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в первое уравнение системы $y = -x^2$.

При $x_1 = -5$:

$y_1 = -(-5)^2 = -25$

При $x_2 = 2$:

$y_2 = -(2)^2 = -4$

Таким образом, решения системы: $(-5, -25)$ и $(2, -4)$.

Ответ: $(-5; -25)$, $(2; -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} u + v^2 = -3 \\ u - 5v = -3 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную u:

$(u + v^2) - (u - 5v) = -3 - (-3)$

$u + v^2 - u + 5v = 0$

$v^2 + 5v = 0$

Вынесем v за скобки:

$v(v + 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для v:

$v_1 = 0$ или $v_2 = -5$

Найдем соответствующие значения u, подставив v во второе уравнение $u = 5v - 3$.

При $v_1 = 0$:

$u_1 = 5 \cdot 0 - 3 = -3$

При $v_2 = -5$:

$u_2 = 5 \cdot (-5) - 3 = -25 - 3 = -28$

Решения системы: $(-3, 0)$ и $(-28, -5)$.

Ответ: $(-28; -5)$, $(-3; 0)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2s^2 - t = 2 \\ s + 2t = 14 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при t стали противоположными:

$2 \cdot (2s^2 - t) = 2 \cdot 2 \Rightarrow 4s^2 - 2t = 4$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 4s^2 - 2t = 4 \\ s + 2t = 14 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(4s^2 - 2t) + (s + 2t) = 4 + 14$

$4s^2 + s = 18$

$4s^2 + s - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$s_1 = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$

$s_2 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$

Найдем t из второго уравнения $t = \frac{14 - s}{2}$.

При $s_1 = -9/4$:

$t_1 = \frac{14 - (-9/4)}{2} = \frac{14 + 9/4}{2} = \frac{56/4 + 9/4}{2} = \frac{65/4}{2} = \frac{65}{8}$

При $s_2 = 2$:

$t_2 = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Решения системы: $(-9/4, 65/8)$ и $(2, 6)$.

Ответ: $(2; 6)$, $(-2,25; 8,125)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - z = 3 \\ 4x^2 - 2z = 6 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на -2:

$-2 \cdot (3x - z) = -2 \cdot 3 \Rightarrow -6x + 2z = -6$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} -6x + 2z = -6 \\ 4x^2 - 2z = 6 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(-6x + 2z) + (4x^2 - 2z) = -6 + 6$

$4x^2 - 6x = 0$

$2x(2x - 3) = 0$

Получаем два значения для x:

$x_1 = 0$ или $2x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3/2$

Найдем z из первого уравнения $z = 3x - 3$.

При $x_1 = 0$:

$z_1 = 3 \cdot 0 - 3 = -3$

При $x_2 = 3/2$:

$z_2 = 3 \cdot (3/2) - 3 = 9/2 - 6/2 = 3/2$

Решения системы: $(0, -3)$ и $(3/2, 3/2)$.

Ответ: $(0; -3)$, $(1,5; 1,5)$.

д)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6z + 2y = 12 \\ 2z^2 - 3y = -7 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$3 \cdot (6z + 2y) = 3 \cdot 12 \Rightarrow 18z + 6y = 36$

$2 \cdot (2z^2 - 3y) = 2 \cdot (-7) \Rightarrow 4z^2 - 6y = -14$

Сложим полученные уравнения:

$(18z + 6y) + (4z^2 - 6y) = 36 - 14$

$4z^2 + 18z = 22$

$4z^2 + 18z - 22 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$2z^2 + 9z - 11 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.

$z_1 = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

$z_2 = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Найдем y из первого уравнения $2y = 12 - 6z \Rightarrow y = 6 - 3z$.

При $z_1 = -11/2$:

$y_1 = 6 - 3 \cdot (-11/2) = 6 + 33/2 = 12/2 + 33/2 = 45/2$

При $z_2 = 1$:

$y_2 = 6 - 3 \cdot 1 = 3$

Решения системы: $(-11/2, 45/2)$ и $(1, 3)$.

Ответ: $(1; 3)$, $(-5,5; 22,5)$.

е)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2y + x = -2 \\ 2y^2 - 3x = 6 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 3:

$3 \cdot (2y + x) = 3 \cdot (-2) \Rightarrow 6y + 3x = -6$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 6y + 3x = -6 \\ 2y^2 - 3x = 6 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(6y + 3x) + (2y^2 - 3x) = -6 + 6$

$2y^2 + 6y = 0$

$2y(y + 3) = 0$

Получаем два значения для y:

$y_1 = 0$ или $y_2 = -3$

Найдем x из первого уравнения $x = -2 - 2y$.

При $y_1 = 0$:

$x_1 = -2 - 2 \cdot 0 = -2$

При $y_2 = -3$:

$x_2 = -2 - 2 \cdot (-3) = -2 + 6 = 4$

Решения системы: $(-2, 0)$ и $(4, -3)$.

Ответ: $(-2; 0)$, $(4; -3)$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (450–451)

450 Изобразите схематически графики заданных функций и определите, пересекаются ли они. Если да, то найдите координаты точек пересечения этих графиков.

а) $y = 2x - 4$ и $y = \frac{6}{x}$;

б) $y = \frac{6}{x}$ и $y = -2x$.

а) Даны функции $y = 2x - 4$ и $y = \frac{6}{x}$. График первой функции — это прямая, которая пересекает ось OY в точке $(0; -4)$ и ось OX в точке $(2; 0)$. График второй функции — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Схематически изобразив графики на одной координатной плоскости, можно увидеть, что они должны пересечься в двух точках. Чтобы найти координаты этих точек, нужно решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений:
$2x - 4 = \frac{6}{x}$
Это уравнение имеет смысл при $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:
$x(2x - 4) = 6$
$2x^2 - 4x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Для удобства разделим все его члены на 2:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой точки, подставив найденные значения $x$ в одно из исходных уравнений, например, в $y = \frac{6}{x}$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{6}{3} = 2$. Координаты первой точки пересечения — $(3; 2)$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{6}{-1} = -6$. Координаты второй точки пересечения — $(-1; -6)$.
Итак, графики пересекаются в двух точках.
Ответ: Графики пересекаются в точках $(3; 2)$ и $(-1; -6)$.

б) Даны функции $y = \frac{6}{x}$ и $y = -2x$. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. График функции $y = -2x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$ и лежащая во второй и четвертой координатных четвертях. Так как ветви гиперболы и прямая находятся в разных четвертях, они не пересекаются.
Проверим это аналитически, приравняв правые части уравнений:
$\frac{6}{x} = -2x$
При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:
$6 = -2x^2$
Разделим обе части на -2:
$x^2 = -3$
Полученное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что графики данных функций не имеют общих точек.
Ответ: Графики не пересекаются.