Номер 450, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 450, страница 184.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (450–451)

450 Изобразите схематически графики заданных функций и определите, пересекаются ли они. Если да, то найдите координаты точек пересечения этих графиков.

а) $y = 2x - 4$ и $y = \frac{6}{x}$;

б) $y = \frac{6}{x}$ и $y = -2x$.

а) Даны функции $y = 2x - 4$ и $y = \frac{6}{x}$. График первой функции — это прямая, которая пересекает ось OY в точке $(0; -4)$ и ось OX в точке $(2; 0)$. График второй функции — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Схематически изобразив графики на одной координатной плоскости, можно увидеть, что они должны пересечься в двух точках. Чтобы найти координаты этих точек, нужно решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений:
$2x - 4 = \frac{6}{x}$
Это уравнение имеет смысл при $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:
$x(2x - 4) = 6$
$2x^2 - 4x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Для удобства разделим все его члены на 2:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой точки, подставив найденные значения $x$ в одно из исходных уравнений, например, в $y = \frac{6}{x}$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{6}{3} = 2$. Координаты первой точки пересечения — $(3; 2)$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{6}{-1} = -6$. Координаты второй точки пересечения — $(-1; -6)$.
Итак, графики пересекаются в двух точках.
Ответ: Графики пересекаются в точках $(3; 2)$ и $(-1; -6)$.

б) Даны функции $y = \frac{6}{x}$ и $y = -2x$. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. График функции $y = -2x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$ и лежащая во второй и четвертой координатных четвертях. Так как ветви гиперболы и прямая находятся в разных четвертях, они не пересекаются.
Проверим это аналитически, приравняв правые части уравнений:
$\frac{6}{x} = -2x$
При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:
$6 = -2x^2$
Разделим обе части на -2:
$x^2 = -3$
Полученное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что графики данных функций не имеют общих точек.
Ответ: Графики не пересекаются.