Номер 451, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 451, страница 185.

451 Найдите координаты общих точек параболы и прямой:

а) $y = x^2 - 5x$ и $y = x - 8$;

б) $y = 2x - 6$ и $y = x^2 - 5$;

в) $y = x^2 - 3x - 10$ и $y = 2x + 4$;

г) $y = 10x + 1$ и $y = x^2 + 4x + 10$;

д) $y = x^2 + 4$ и $y = -3x$.

а) Чтобы найти координаты общих точек, приравняем правые части уравнений: $y = x^2 - 5x$ и $y = x - 8$. Получим уравнение $x^2 - 5x = x - 8$. Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = x - 8$.Для $x_1 = 2$, получаем $y_1 = 2 - 8 = -6$.Для $x_2 = 4$, получаем $y_2 = 4 - 8 = -4$.Координаты общих точек: $(2, -6)$ и $(4, -4)$.
Ответ: $(2, -6)$, $(4, -4)$.

б) Приравняем правые части уравнений $y = 2x - 6$ и $y = x^2 - 5$:$2x - 6 = x^2 - 5$.Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:$x^2 - 2x - 5 + 6 = 0$$x^2 - 2x + 1 = 0$.Это уравнение является полным квадратом: $(x - 1)^2 = 0$.Отсюда находим единственный корень $x = 1$. Это означает, что прямая касается параболы в одной точке.Найдем ординату точки касания, подставив $x=1$ в уравнение прямой $y = 2x - 6$:$y = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4$.Координата общей точки: $(1, -4)$.
Ответ: $(1, -4)$.

в) Приравняем выражения для $y$ из уравнений $y = x^2 - 3x - 10$ и $y = 2x + 4$:$x^2 - 3x - 10 = 2x + 4$.Соберем все члены в левой части уравнения:$x^2 - 3x - 2x - 10 - 4 = 0$$x^2 - 5x - 14 = 0$.Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = 2x + 4$.Для $x_1 = -2$, получаем $y_1 = 2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0$.Для $x_2 = 7$, получаем $y_2 = 2(7) + 4 = 14 + 4 = 18$.Координаты общих точек: $(-2, 0)$ и $(7, 18)$.
Ответ: $(-2, 0)$, $(7, 18)$.

г) Приравняем правые части уравнений $y = 10x + 1$ и $y = x^2 + 4x + 10$:$10x + 1 = x^2 + 4x + 10$.Приведем уравнение к стандартному виду:$x^2 + 4x - 10x + 10 - 1 = 0$$x^2 - 6x + 9 = 0$.Данное уравнение является полным квадратом: $(x - 3)^2 = 0$.Уравнение имеет один корень $x = 3$, что означает, что прямая является касательной к параболе.Найдем ординату точки касания, подставив $x = 3$ в уравнение прямой $y = 10x + 1$:$y = 10(3) + 1 = 30 + 1 = 31$.Координата общей точки: $(3, 31)$.
Ответ: $(3, 31)$.

д) Приравняем правые части уравнений $y = x^2 + 4$ и $y = -3x$:$x^2 + 4 = -3x$.Перенесем все слагаемые в одну сторону:$x^2 + 3x + 4 = 0$.Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики параболы и прямой не пересекаются, и общих точек у них нет.
Ответ: общих точек нет.