Страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

451 Найдите координаты общих точек параболы и прямой:

а) $y = x^2 - 5x$ и $y = x - 8$;

б) $y = 2x - 6$ и $y = x^2 - 5$;

в) $y = x^2 - 3x - 10$ и $y = 2x + 4$;

г) $y = 10x + 1$ и $y = x^2 + 4x + 10$;

д) $y = x^2 + 4$ и $y = -3x$.

а) Чтобы найти координаты общих точек, приравняем правые части уравнений: $y = x^2 - 5x$ и $y = x - 8$. Получим уравнение $x^2 - 5x = x - 8$. Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = x - 8$.Для $x_1 = 2$, получаем $y_1 = 2 - 8 = -6$.Для $x_2 = 4$, получаем $y_2 = 4 - 8 = -4$.Координаты общих точек: $(2, -6)$ и $(4, -4)$.
Ответ: $(2, -6)$, $(4, -4)$.

б) Приравняем правые части уравнений $y = 2x - 6$ и $y = x^2 - 5$:$2x - 6 = x^2 - 5$.Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:$x^2 - 2x - 5 + 6 = 0$$x^2 - 2x + 1 = 0$.Это уравнение является полным квадратом: $(x - 1)^2 = 0$.Отсюда находим единственный корень $x = 1$. Это означает, что прямая касается параболы в одной точке.Найдем ординату точки касания, подставив $x=1$ в уравнение прямой $y = 2x - 6$:$y = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4$.Координата общей точки: $(1, -4)$.
Ответ: $(1, -4)$.

в) Приравняем выражения для $y$ из уравнений $y = x^2 - 3x - 10$ и $y = 2x + 4$:$x^2 - 3x - 10 = 2x + 4$.Соберем все члены в левой части уравнения:$x^2 - 3x - 2x - 10 - 4 = 0$$x^2 - 5x - 14 = 0$.Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = 2x + 4$.Для $x_1 = -2$, получаем $y_1 = 2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0$.Для $x_2 = 7$, получаем $y_2 = 2(7) + 4 = 14 + 4 = 18$.Координаты общих точек: $(-2, 0)$ и $(7, 18)$.
Ответ: $(-2, 0)$, $(7, 18)$.

г) Приравняем правые части уравнений $y = 10x + 1$ и $y = x^2 + 4x + 10$:$10x + 1 = x^2 + 4x + 10$.Приведем уравнение к стандартному виду:$x^2 + 4x - 10x + 10 - 1 = 0$$x^2 - 6x + 9 = 0$.Данное уравнение является полным квадратом: $(x - 3)^2 = 0$.Уравнение имеет один корень $x = 3$, что означает, что прямая является касательной к параболе.Найдем ординату точки касания, подставив $x = 3$ в уравнение прямой $y = 10x + 1$:$y = 10(3) + 1 = 30 + 1 = 31$.Координата общей точки: $(3, 31)$.
Ответ: $(3, 31)$.

д) Приравняем правые части уравнений $y = x^2 + 4$ и $y = -3x$:$x^2 + 4 = -3x$.Перенесем все слагаемые в одну сторону:$x^2 + 3x + 4 = 0$.Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики параболы и прямой не пересекаются, и общих точек у них нет.
Ответ: общих точек нет.

452 Постройте график уравнения:

а) $x^2 - y^2 = 0;$

б) $4x^2 = y^2;$

в) $xy = 0;$

г) $(x - y)(2x - y) = 0;$

д) $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0;$

е) $(x - 1)(y - 1) = 0.$

а) Уравнение $x^2 - y^2 = 0$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, уравнение распадается на два:

1. $x - y = 0$, что эквивалентно $y = x$. Это уравнение прямой, являющейся биссектрисой первого и третьего координатных углов.
2. $x + y = 0$, что эквивалентно $y = -x$. Это уравнение прямой, являющейся биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение двух прямых, пересекающихся в начале координат.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x$ и $y = -x$.

б) Перенесем все члены уравнения $4x^2 = y^2$ в одну часть: $4x^2 - y^2 = 0$. Это уравнение также является разностью квадратов: $(2x)^2 - y^2 = 0$. Разложим на множители: $(2x - y)(2x + y) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $2x - y = 0$, откуда $y = 2x$. Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 2.
2. $2x + y = 0$, откуда $y = -2x$. Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом -2.

График уравнения — это объединение двух прямых, пересекающихся в точке (0, 0).
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = 2x$ и $y = -2x$.

в) Уравнение $xy = 0$ выполняется, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Таким образом, мы имеем два случая:

1. $x = 0$. Это уравнение задает ось ординат (ось OY).
2. $y = 0$. Это уравнение задает ось абсцисс (ось OX).

График уравнения является объединением координатных осей.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых, совпадающих с осями координат: $x = 0$ (ось OY) и $y = 0$ (ось OX).

г) Уравнение $(x - y)(2x - y) = 0$ уже представлено в виде произведения двух множителей. Оно равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $x - y = 0$, откуда $y = x$.
2. $2x - y = 0$, откуда $y = 2x$.

Графиком является объединение двух прямых, проходящих через начало координат: $y=x$ и $y=2x$.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x$ и $y = 2x$.

д) В уравнении $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $x - y + 1 = 0$, откуда получаем $y = x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, пересекающая ось OY в точке (0, 1).
2. $x + y - 1 = 0$, откуда получаем $y = -x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом -1, также пересекающая ось OY в точке (0, 1).

График — это объединение двух прямых, пересекающихся в точке (0, 1).
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x + 1$ и $y = -x + 1$.

е) Уравнение $(x - 1)(y - 1) = 0$ выполняется, когда один из множителей равен нулю.

1. $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси OY и проходящую через точку (1, 0).
2. $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси OX и проходящую через точку (0, 1).

График представляет собой объединение двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в точке (1, 1).
Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых $x = 1$ и $y = 1$.

453 С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ x - 2y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y + \sqrt{x} = 0 \\ y + x + 1 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = |x| \\ y = x^2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} |x| + y = 0 \\ x^2 - y = 1; \end{cases}$

д) $\begin{cases} xy = 8 \\ y - x^3 = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} xy = -1 \\ x^3 - y = 0. \end{cases}$

Для определения количества решений каждой системы уравнений построим графики функций и найдем количество точек их пересечения.

а)Система уравнений:$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ x - 2y = 2 \end{cases} $

Первое уравнение $y = \sqrt{x}$ задает график функции квадратного корня. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

Второе уравнение $x - 2y = 2$ является линейным. Преобразуем его к виду $y = f(x)$:$2y = x - 2$$y = \frac{1}{2}x - 1$Это прямая с угловым коэффициентом $k=1/2$ и пересечением с осью $y$ в точке (0, -1). Для построения прямой найдем еще одну точку, например, при $y=0$ имеем $x=2$. Прямая проходит через точки (0, -1) и (2, 0).

Построим оба графика в одной системе координат. Видно, что прямая пересекает ветвь параболы в одной точке.

Ответ: 1 решение.

б)Система уравнений:$ \begin{cases} y + \sqrt{x} = 0 \\ y + x + 1 = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения системы к виду $y=f(x)$:Первое уравнение: $y = -\sqrt{x}$. График этой функции — ветвь параболы, симметричная графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Ox. Она расположена в четвертой координатной четверти и проходит через точки (0, 0), (1, -1), (4, -2).

Второе уравнение: $y = -x - 1$. Это прямая, проходящая через точки (0, -1) и (-1, 0).

Построим графики в одной системе координат. График $y = -\sqrt{x}$ начинается в точке (0,0), а прямая $y = -x - 1$ проходит ниже, через точку (0, -1). Так как кривая $y = -\sqrt{x}$ "выполаживается" медленнее, чем убывает прямая, графики не пересекаются.

Ответ: нет решений.

в)Система уравнений:$ \begin{cases} y = |x| \\ y = x^2 \end{cases} $

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, являющихся биссектрисами первого ($y=x$) и второго ($y=-x$) координатных углов, с общей вершиной в точке (0, 0).

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.

Оба графика симметричны относительно оси Oy. Они очевидно пересекаются в начале координат (0, 0). Для нахождения других точек пересечения решим систему. При $x \ge 0$, имеем $y=x$ и $y=x^2$, откуда $x^2 = x \Rightarrow x(x-1)=0$. Решения: $x=0$ и $x=1$. Это дает точки (0, 0) и (1, 1). В силу симметрии относительно оси Oy, есть еще одна точка пересечения при $x=-1$, а именно (-1, 1).Таким образом, графики пересекаются в трех точках.

Ответ: 3 решения.

г)Система уравнений:$ \begin{cases} |x| + y = 0 \\ x^2 - y = 1 \end{cases} $

Преобразуем уравнения:Первое уравнение: $y = -|x|$. График — "перевернутая галочка" с вершиной в точке (0, 0).Второе уравнение: $y = x^2 - 1$. График — парабола, смещенная на 1 единицу вниз по оси Oy. Ее вершина находится в точке (0, -1).

Оба графика симметричны относительно оси Oy. В точке $x=0$ график $y=-|x|$ находится выше ($y=0$), чем график $y=x^2-1$ ($y=-1$). При увеличении $|x|$ ветви параболы $y=x^2-1$ уходят вверх и пересекают лучи графика $y=-|x|$.Рассмотрим $x \ge 0$. Система принимает вид $y=-x$ и $y=x^2-1$. Приравнивая, получаем уравнение $x^2-1=-x \Rightarrow x^2+x-1=0$. Это уравнение имеет один положительный корень $x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.Так как есть одна точка пересечения с положительной абсциссой, в силу симметрии будет и одна точка пересечения с отрицательной абсциссой. Всего две точки пересечения.

Ответ: 2 решения.

д)Система уравнений:$ \begin{cases} xy = 8 \\ y - x^3 = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения: $y = 8/x$ и $y = x^3$.График $y = 8/x$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.График $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат и также расположенная в первой и третьей четвертях.

Обе функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат.В первой четверти ($x>0$) кубическая парабола $y=x^3$ возрастает от 0 до $+\infty$, а гипербола $y=8/x$ убывает от $+\infty$ до 0. Следовательно, их графики обязательно пересекутся, причем ровно в одной точке.В силу симметрии относительно начала координат, графики также пересекутся ровно в одной точке в третьей четверти ($x<0$).Всего получается две точки пересечения.

Ответ: 2 решения.

е)Система уравнений:$ \begin{cases} xy = -1 \\ x^3 - y = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения: $y = -1/x$ и $y = x^3$.График $y = -1/x$ — это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.График $y = x^3$ — это кубическая парабола, расположенная в первой и третьей четвертях.

Графики этих функций находятся в разных координатных четвертях. Единственная точка, которая могла бы быть общей — это начало координат, но оно не принадлежит графику гиперболы (так как деление на ноль не определено). Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: нет решений.

454 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 - y + 2 = 0 \\ xy + 4 = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - y - 2 = 0 \\ x^3 - y = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 2x + y = 0 \\ \sqrt{x} - y = 0 \end{cases}$

а)

Для решения системы графически преобразуем каждое уравнение к виду функции $y(x)$:

$ \begin{cases} x^2 - y + 2 = 0 \\ xy + 4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2 + 2 \\ y = -4/x \end{cases} $

Теперь построим графики этих двух функций в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$, а ветви направлены вверх.

2. График функции $y = -4/x$ — это гипербола. Так как коэффициент отрицательный, ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Построим графики. Решениями системы являются координаты точек пересечения этих графиков.

Из графика видно, что кривые пересекаются в одной точке, расположенной во II координатной четверти. Для проверки определим значения функций в нескольких точках с целыми абсциссами:
При $x = -1$: парабола $y = (-1)^2 + 2 = 3$; гипербола $y = -4/(-1) = 4$.
При $x = -2$: парабола $y = (-2)^2 + 2 = 6$; гипербола $y = -4/(-2) = 2$.
Поскольку при $x=-2$ парабола выше гиперболы ($6 > 2$), а при $x=-1$ гипербола выше параболы ($4 > 3$), точка пересечения находится между $x = -2$ и $x = -1$. Графический метод не всегда позволяет найти точное решение, если оно не является целочисленным. В данном случае мы можем констатировать, что система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение $(x_0, y_0)$, где $-2 < x_0 < -1$.

б)

Преобразуем уравнения системы:

$ \begin{cases} x^2 - y - 2 = 0 \\ x^3 - y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2 - 2 \\ y = x^3 \end{cases} $

Построим графики функций в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$, ветви направлены вверх.

2. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.

Построим графики и найдем точки их пересечения.

Из графика видно, что кривые пересекаются в одной точке. Визуально можно предположить, что это точка с координатами $(-1, -1)$. Выполним проверку, подставив эти значения в оба уравнения:
Для первого уравнения: $y = x^2 - 2 \implies -1 = (-1)^2 - 2 \implies -1 = 1 - 2 \implies -1 = -1$. Верно.
Для второго уравнения: $y = x^3 \implies -1 = (-1)^3 \implies -1 = -1$. Верно.
Следовательно, точка $(-1, -1)$ является решением системы.

Ответ: $(-1, -1)$.

в)

Преобразуем уравнения системы:

$ \begin{cases} x^2 - 2x + y = 0 \\ \sqrt{x} - y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -x^2 + 2x \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что область допустимых значений для $x$ есть $x \ge 0$.

Построим графики функций в одной системе координат для $x \ge 0$.

1. График функции $y = -x^2 + 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины: $x_v = -b/(2a) = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$; $y_v = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1$. Вершина в точке $(1, 1)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=2$.

2. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, которая начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

Построим графики и найдем точки их пересечения.

Из графика видно, что кривые пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Это точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Проверим точку $(0, 0)$:
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$
$y = \sqrt{0} = 0$
Верно.
Проверим точку $(1, 1)$:
$y = -1^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$
$y = \sqrt{1} = 1$
Верно.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

455 С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений. Укажите приближённо её решения.

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + 2x = 2 - y \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y + 5 = 2x^2 - 4x \end{cases}$

Для определения количества решений системы уравнений с помощью графиков, необходимо построить графики каждого уравнения в системе и найти количество точек их пересечения. Каждая точка пересечения является решением системы. Приближенные решения определяются по координатам этих точек.

а)

Система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + 2x = 2 - y \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение: $ x^2 + y^2 = 4 $.

Это уравнение окружности с центром в начале координат $ (0,0) $ и радиусом $ r = \sqrt{4} = 2 $. Окружность проходит через точки $ (2,0) $, $ (-2,0) $, $ (0,2) $, $ (0,-2) $.

Рассмотрим второе уравнение: $ x^2 + 2x = 2 - y $.

Выразим $ y $: $ y = -x^2 - 2x + 2 $.

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $ x^2 $ отрицателен). Найдем координаты вершины параболы:

$ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(-1)} = \frac{2}{-2} = -1 $

$ y_v = -(-1)^2 - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 $

Вершина параболы находится в точке $ (-1, 3) $.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• При $ x=0 $: $ y = -(0)^2 - 2(0) + 2 = 2 $. Точка $ (0,2) $.
• При $ y=0 $: $ -x^2 - 2x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 2 = 0 $.
  $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} $.
  $ x_1 \approx -1 + 1.732 = 0.732 $, $ x_2 \approx -1 - 1.732 = -2.732 $.

При графическом построении, мы видим, что парабола с вершиной $ (-1,3) $ (лежащей вне окружности) проходит через точку $ (0,2) $, которая также лежит на окружности. Это одна точка пересечения.

Парабола продолжает опускаться. Для $ x>0 $, когда $ y $ уменьшается, парабола пересечет нижнюю часть окружности. Проверим точки для параболы:

• При $ x=1 $: $ y = -(1)^2 - 2(1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1 $. Точка $ (1,-1) $.

Для окружности при $ x=1 $: $ 1^2 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73 $.

Точка $ (1,-1) $ лежит внутри окружности, так как $ 1^2 + (-1)^2 = 2 < 4 $. Продолжая следить за параболой, она должна пересечь окружность при дальнейшем уменьшении $ y $.

Из более точного анализа (подстановкой одного уравнения в другое: $ x^4 + 4x^3 + x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x^3 + 4x^2 + x - 8) = 0 $) получаем одно решение $ x=0 $, которое дает $ y=2 $, то есть $ (0,2) $. Кубическое уравнение $ x^3 + 4x^2 + x - 8 = 0 $ имеет только один действительный корень.

Оценим этот корень: при $ x=1 $, $ 1+4+1-8 = -2 $. При $ x=2 $, $ 8+16+2-8 = 18 $. Значит, корень находится между $ 1 $ и $ 2 $. Приближенно $ x \approx 1.15 $.

Для $ x \approx 1.15 $, $ y = -(1.15)^2 - 2(1.15) + 2 \approx -1.3225 - 2.3 + 2 = -1.6225 $.

Проверим на окружности: $ (1.15)^2 + (-1.62)^2 \approx 1.3225 + 2.6244 = 3.9469 $, что близко к $ 4 $.

Таким образом, система имеет две точки пересечения.

Ответ: Количество решений: 2. Приближенные решения: $ (0,2) $ и $ (1.15, -1.62) $.

б)

Система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y + 5 = 2x^2 - 4x \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение: $ x^2 + y^2 = 25 $.

Это уравнение окружности с центром в начале координат $ (0,0) $ и радиусом $ r = \sqrt{25} = 5 $. Окружность проходит через точки $ (5,0) $, $ (-5,0) $, $ (0,5) $, $ (0,-5) $.

Рассмотрим второе уравнение: $ y + 5 = 2x^2 - 4x $.

Выразим $ y $: $ y = 2x^2 - 4x - 5 $.

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $ x^2 $ положительный). Найдем координаты вершины параболы:

$ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1 $

$ y_v = 2(1)^2 - 4(1) - 5 = 2 - 4 - 5 = -7 $

Вершина параболы находится в точке $ (1, -7) $.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• При $ x=0 $: $ y = 2(0)^2 - 4(0) - 5 = -5 $. Точка $ (0,-5) $.

При графическом построении, мы видим, что парабола с вершиной $ (1,-7) $ (лежащей вне окружности) проходит через точку $ (0,-5) $, которая также лежит на окружности. Это одна точка пересечения.

Парабола симметрична относительно оси $ x=1 $.

• При $ x=2 $: $ y = 2(2)^2 - 4(2) - 5 = 8 - 8 - 5 = -5 $. Точка $ (2,-5) $. Эта точка не на окружности $ (2^2+(-5)^2 = 4+25=29 \ne 25) $.

Парабола, идя вверх от вершины, пересекает окружность. Поскольку она уже пересекла ее в $ (0,-5) $, и ее ветви направлены вверх, ожидается, что будет еще несколько пересечений.

Из более точного анализа (подстановкой одного уравнения в другое: $ x(4x^3 - 16x^2 - 3x + 40) = 0 $) получаем одно решение $ x=0 $, которое дает $ y=-5 $, то есть $ (0,-5) $. Кубическое уравнение $ 4x^3 - 16x^2 - 3x + 40 = 0 $ имеет три действительных корня.

Оценим эти корни:

1. Первый корень: между $ x=2 $ и $ x=3 $. Приближенно $ x \approx 2.1 $.
   Если $ x \approx 2.1 $, то $ y = 2(2.1)^2 - 4(2.1) - 5 = 2(4.41) - 8.4 - 5 = 8.82 - 8.4 - 5 = -4.58 $.
   Проверим на окружности: $ (2.1)^2 + (-4.58)^2 = 4.41 + 20.9764 = 25.3864 $, что близко к $ 25 $. Приближенное решение: $ (2.1, -4.6) $.
2. Второй корень: между $ x=-1 $ и $ x=-2 $. Приближенно $ x \approx -1.4 $.
   Если $ x \approx -1.4 $, то $ y = 2(-1.4)^2 - 4(-1.4) - 5 = 2(1.96) + 5.6 - 5 = 3.92 + 5.6 - 5 = 4.52 $.
   Проверим на окружности: $ (-1.4)^2 + (4.52)^2 = 1.96 + 20.4304 = 22.3904 $, что близко к $ 25 $. Приближенное решение: $ (-1.4, 4.5) $.
3. Третий корень: между $ x=3 $ и $ x=4 $. Приближенно $ x \approx 3.3 $.
   Если $ x \approx 3.3 $, то $ y = 2(3.3)^2 - 4(3.3) - 5 = 2(10.89) - 13.2 - 5 = 21.78 - 13.2 - 5 = 3.58 $.
   Проверим на окружности: $ (3.3)^2 + (3.58)^2 = 10.89 + 12.8164 = 23.7064 $, что близко к $ 25 $. Приближенное решение: $ (3.3, 3.6) $.

Таким образом, система имеет четыре точки пересечения.

Ответ: Количество решений: 4. Приближенные решения: $ (0,-5) $, $ (2.1, -4.6) $, $ (-1.4, 4.5) $, $ (3.3, 3.6) $.

456 Решите систему уравнений, воспользовавшись в качестве образца примером 3:

a) $\begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 10y^2 - 4x = x^2 - 8y \\ 3y - x = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + x = -2 \\ x^2 + 3y^2 = 9 - xy \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 - 5xy = 64 - 10y \\ 4y + x = 10 \end{cases}$

е) $\begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2y = x^2 - 4x \\ 4y = 3x - 9 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 6y = 30 + 12x \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = -2x$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x^2 + (-2x)^2 - 6(-2x) = 0$
$2x^2 + 4x^2 + 12x = 0$
$6x^2 + 12x = 0$
$6x(x + 2) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -2 \cdot 0 = 0$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 \cdot (-2) = 4$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(0, 0)$, $(-2, 4)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 10y^2 - 4x = x^2 - 8y \\ 3y - x = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 3y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$10y^2 - 4(3y) = (3y)^2 - 8y$
$10y^2 - 12y = 9y^2 - 8y$
$10y^2 - 9y^2 - 12y + 8y = 0$
$y^2 - 4y = 0$
$y(y - 4) = 0$
Корни этого уравнения: $y_1 = 0$ и $y_2 = 4$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 3 \cdot 0 = 0$.
Если $y_2 = 4$, то $x_2 = 3 \cdot 4 = 12$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(0, 0)$, $(12, 4)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 3$
Подставим во второе уравнение:
$(y + 3)^2 - (y + 3)y - 2y^2 = 7$
$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 + 3y) - 2y^2 = 7$
$y^2 + 6y + 9 - y^2 - 3y - 2y^2 - 7 = 0$
$-2y^2 + 3y + 2 = 0$
$2y^2 - 3y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3+5}{4} = 2$
$y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3-5}{4} = -0.5$
Найдем $x$:
При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 3 = 5$.
При $y_2 = -0.5$, $x_2 = -0.5 + 3 = 2.5$.
Ответ: $(5, 2)$, $(2.5, -0.5)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y + x = -2 \\ x^2 + 3y^2 = 9 - xy \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = -x - 2$
Подставим во второе уравнение:
$x^2 + 3(-x - 2)^2 = 9 - x(-x - 2)$
$x^2 + 3(x^2 + 4x + 4) = 9 + x^2 + 2x$
$x^2 + 3x^2 + 12x + 12 = 9 + x^2 + 2x$
$4x^2 + 12x + 12 - x^2 - 2x - 9 = 0$
$3x^2 + 10x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{6} = \frac{-10+8}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{6} = \frac{-10-8}{6} = -3$
Найдем $y$:
При $x_1 = -\frac{1}{3}$, $y_1 = -(-\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$.
Ответ: $(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3})$, $(-3, 1)$.

д) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 5xy = 64 - 10y \\ 4y + x = 10 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 10 - 4y$
Подставим в первое уравнение:
$(10 - 4y)^2 - 5y(10 - 4y) = 64 - 10y$
$100 - 80y + 16y^2 - 50y + 20y^2 = 64 - 10y$
$36y^2 - 130y + 100 = 64 - 10y$
$36y^2 - 120y + 36 = 0$
Разделим все уравнение на 12: $3y^2 - 10y + 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$y_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3$
$y_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Найдем $x$:
При $y_1 = 3$, $x_1 = 10 - 4 \cdot 3 = -2$.
При $y_2 = \frac{1}{3}$, $x_2 = 10 - 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{30-4}{3} = \frac{26}{3}$.
Ответ: $(-2, 3)$, $(\frac{26}{3}, \frac{1}{3})$.

е) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 1 - 2x$
Подставим во второе уравнение:
$x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7$
$x^2 + x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 7$
$3x^2 - 3x - 6 = 0$
Разделим на 3: $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета корни $x_1=2, x_2=-1$.
Найдем $y$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 1 - 2 \cdot 2 = -3$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = 1 - 2(-1) = 3$.
Ответ: $(2, -3)$, $(-1, 3)$.

ж) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2y = x^2 - 4x \\ 4y = 3x - 9 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$:
$y = \frac{3x - 9}{4}$
Подставим в первое уравнение:
$2\left(\frac{3x - 9}{4}\right) = x^2 - 4x$
$\frac{3x - 9}{2} = x^2 - 4x$
$3x - 9 = 2x^2 - 8x$
$2x^2 - 11x + 9 = 0$
Решим квадратное уравнение. $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$.
$x_1 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
$x_2 = \frac{11 - 7}{4} = 1$
Найдем $y$:
При $x_1 = \frac{9}{2}$, $y_1 = \frac{3 \cdot \frac{9}{2} - 9}{4} = \frac{\frac{27}{2} - \frac{18}{2}}{4} = \frac{9/2}{4} = \frac{9}{8}$.
При $x_2 = 1$, $y_2 = \frac{3 \cdot 1 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $(\frac{9}{2}, \frac{9}{8})$, $(1, -\frac{3}{2})$.

з) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 6y = 30 + 12x \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$. Разделим его на 6:
$y = 5 + 2x$
Подставим в первое уравнение:
$3x^2 + 2x = 3(5 + 2x)$
$3x^2 + 2x = 15 + 6x$
$3x^2 - 4x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196$.
$x_1 = \frac{4 + 14}{6} = 3$
$x_2 = \frac{4 - 14}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$
Найдем $y$:
При $x_1 = 3$, $y_1 = 5 + 2 \cdot 3 = 11$.
При $x_2 = -\frac{5}{3}$, $y_2 = 5 + 2(-\frac{5}{3}) = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $(3, 11)$, $(-\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$.