Страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

480 Пароход прошёл 100 км по течению реки и 64 км против течения за 9 ч. В другой раз за это же время он прошёл 80 км против течения и вернулся обратно. Определите скорость парохода в стоячей воде и скорость течения.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

1. Введение переменных.

Пусть $v_п$ — скорость парохода в стоячей воде (собственная скорость) в км/ч, а $v_т$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость парохода по течению реки равна $(v_п + v_т)$ км/ч.

Скорость парохода против течения реки равна $(v_п - v_т)$ км/ч.

2. Составление системы уравнений.

Используем формулу времени $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Из первого условия известно, что пароход прошел 100 км по течению и 64 км против течения за 9 часов. Составим первое уравнение: $$ \frac{100}{v_п + v_т} + \frac{64}{v_п - v_т} = 9 $$

Из второго условия известно, что за то же время (9 часов) пароход прошел 80 км против течения и вернулся обратно, то есть прошел 80 км по течению. Составим второе уравнение: $$ \frac{80}{v_п - v_т} + \frac{80}{v_п + v_т} = 9 $$

3. Решение системы уравнений.

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} \frac{100}{v_п + v_т} + \frac{64}{v_п - v_т} = 9 \\ \frac{80}{v_п + v_т} + \frac{80}{v_п - v_т} = 9 \end{cases} $$

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{v_п + v_т}$ и $y = \frac{1}{v_п - v_т}$.

Тогда система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} 100x + 64y = 9 \\ 80x + 80y = 9 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $80x = 9 - 80y$ $x = \frac{9 - 80y}{80} = \frac{9}{80} - y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение: $100(\frac{9}{80} - y) + 64y = 9$ $\frac{900}{80} - 100y + 64y = 9$ $\frac{90}{8} - 36y = 9$ $11.25 - 36y = 9$ $36y = 11.25 - 9$ $36y = 2.25$ $y = \frac{2.25}{36} = \frac{9/4}{36} = \frac{9}{4 \cdot 36} = \frac{1}{16}$

Теперь найдем $x$: $x = \frac{9}{80} - y = \frac{9}{80} - \frac{1}{16}$ Приведем к общему знаменателю 80: $x = \frac{9}{80} - \frac{5}{80} = \frac{4}{80} = \frac{1}{20}$

4. Нахождение скоростей.

Выполним обратную замену: $x = \frac{1}{v_п + v_т} = \frac{1}{20} \implies v_п + v_т = 20$ $y = \frac{1}{v_п - v_т} = \frac{1}{16} \implies v_п - v_т = 16$

Получили новую, более простую систему уравнений: $$ \begin{cases} v_п + v_т = 20 \\ v_п - v_т = 16 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы: $(v_п + v_т) + (v_п - v_т) = 20 + 16$ $2v_п = 36$ $v_п = 18$

Подставим найденное значение $v_п$ в первое уравнение $v_п + v_т = 20$: $18 + v_т = 20$ $v_т = 20 - 18$ $v_т = 2$

Таким образом, скорость парохода в стоячей воде составляет 18 км/ч, а скорость течения — 2 км/ч.

Ответ: скорость парохода в стоячей воде — 18 км/ч, скорость течения — 2 км/ч.

481 Дорога от дома до школы состоит из двух участков: 300 м подъёма и 600 м спуска. Дорога от дома до школы занимает у Дениса 16 мин, а обратная дорога — 17 мин. Определите скорость Дениса на подъёме и на спуске.

Пусть $v_п$ — скорость Дениса на подъёме (в м/мин), а $v_с$ — скорость Дениса на спуске (в м/мин).

Дорога от дома до школы состоит из 300 м подъёма и 600 м спуска. Время в пути составляет 16 минут. Используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость, составим первое уравнение:

$\frac{300}{v_п} + \frac{600}{v_с} = 16$

Обратная дорога от школы до дома состоит из 600 м подъёма (бывший спуск) и 300 м спуска (бывший подъём). Время в пути составляет 17 минут. Составим второе уравнение:

$\frac{600}{v_п} + \frac{300}{v_с} = 17$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для удобства решения сделаем замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{v_п}$ и $y = \frac{1}{v_с}$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} 300x + 600y = 16 & (1) \\ 600x + 300y = 17 & (2) \end{cases} $

Сложим уравнения (1) и (2):

$(300x + 600y) + (600x + 300y) = 16 + 17$

$900x + 900y = 33$

Разделим обе части на 900:

$x + y = \frac{33}{900} = \frac{11}{300}$

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(600x + 300y) - (300x + 600y) = 17 - 16$

$300x - 300y = 1$

Разделим обе части на 300:

$x - y = \frac{1}{300}$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = \frac{11}{300} \\ x - y = \frac{1}{300} \end{cases} $

Сложим эти два новых уравнения:

$(x + y) + (x - y) = \frac{11}{300} + \frac{1}{300}$

$2x = \frac{12}{300} = \frac{1}{25}$

$x = \frac{1}{50}$

Подставим значение $x$ в уравнение $x + y = \frac{11}{300}$:

$\frac{1}{50} + y = \frac{11}{300}$

$y = \frac{11}{300} - \frac{1}{50} = \frac{11}{300} - \frac{6}{300} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$

Теперь вернёмся к исходным переменным, зная, что $v_п = \frac{1}{x}$ и $v_с = \frac{1}{y}$:

$v_п = \frac{1}{1/50} = 50$ м/мин.

$v_с = \frac{1}{1/60} = 60$ м/мин.

Проверим найденные значения:

Время до школы: $\frac{300}{50} + \frac{600}{60} = 6 + 10 = 16$ минут. (Верно)

Время до дома: $\frac{600}{50} + \frac{300}{60} = 12 + 5 = 17$ минут. (Верно)

Ответ: скорость Дениса на подъёме составляет 50 м/мин, а на спуске — 60 м/мин.

482 Расстояние между пунктами A и B равно 15 км. Два велосипедиста выехали из этих пунктов навстречу друг другу, встретились через 30 мин и, не останавливаясь, продолжили путь. Первый велосипедист прибыл в пункт B на 25 мин раньше, чем второй в пункт A. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение:

Пусть $v_1$ (в км/ч) — скорость первого велосипедиста, который ехал из пункта А в пункт В, а $v_2$ (в км/ч) — скорость второго велосипедиста, который ехал из пункта В в пункт А. Расстояние между пунктами $S = 15$ км.

Для удобства расчетов переведем единицы времени из минут в часы, так как скорость будем выражать в км/ч.

Время до встречи: $t_{встречи} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.

Разница во времени прибытия: $\Delta t = 25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

1. Составление первого уравнения.

Велосипедисты двигались навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей $(v_1 + v_2)$. За время $t_{встречи}$ они вместе преодолели все расстояние $S$.

$(v_1 + v_2) \cdot t_{встречи} = S$

$(v_1 + v_2) \cdot 0.5 = 15$

Отсюда находим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{15}{0.5} = 30$

Это наше первое уравнение.

2. Составление второго уравнения.

Общее время, которое затратил первый велосипедист на весь путь из А в В, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{15}{v_1}$ ч.

Общее время, которое затратил второй велосипедист на весь путь из В в А, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{15}{v_2}$ ч.

По условию, первый велосипедист прибыл на 25 минут ($\frac{5}{12}$ часа) раньше второго. Это означает, что его время в пути было меньше:

$t_2 - t_1 = \frac{5}{12}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{15}{v_2} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12}$

Это наше второе уравнение.

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 30 \\ \frac{15}{v_2} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 30 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{15}{30 - v_1} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12}$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 5:

$\frac{3}{30 - v_1} - \frac{3}{v_1} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(30 - v_1)$:

$\frac{3v_1 - 3(30 - v_1)}{v_1(30 - v_1)} = \frac{1}{12}$

$\frac{3v_1 - 90 + 3v_1}{30v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

$\frac{6v_1 - 90}{30v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции ("крест-накрест"):

$12 \cdot (6v_1 - 90) = 1 \cdot (30v_1 - v_1^2)$

$72v_1 - 1080 = 30v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_1^2 + 72v_1 - 30v_1 - 1080 = 0$

$v_1^2 + 42v_1 - 1080 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 1764 + 4320 = 6084$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$.

Находим возможные значения для $v_1$:

$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 \pm 78}{2}$

Первый корень: $v_{1,1} = \frac{-42 + 78}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

Второй корень: $v_{1,2} = \frac{-42 - 78}{2} = \frac{-120}{2} = -60$.

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_1 = -60$ не является решением задачи. Таким образом, скорость первого велосипедиста $v_1 = 18$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста, используя первое уравнение:

$v_2 = 30 - v_1 = 30 - 18 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста равна 18 км/ч, а скорость второго велосипедиста — 12 км/ч.

483 Два катера вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми 150 км. Через 1 ч 30 мин катера встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый катер прибыл в пункт $B$ на 1 ч 15 мин позже, чем второй в пункт $A$. Сколько времени был в пути каждый катер?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пунктами A и B, равное 150 км.
• $v_1$ – скорость первого катера, который вышел из пункта А в пункт В.
• $v_2$ – скорость второго катера, который вышел из пункта В в пункт А.
• $t_{встр}$ – время, через которое катера встретились. По условию, $t_{встр} = 1$ ч 30 мин $= 1,5$ часа.
• $T_1$ и $T_2$ – общее время в пути первого и второго катеров соответственно.

Катера движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. До момента встречи они суммарно проходят все расстояние $S$. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, получаем:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

$150 = (v_1 + v_2) \cdot 1,5$

Отсюда можно найти сумму скоростей катеров:

$v_1 + v_2 = \frac{150}{1,5} = 100$ км/ч.

Общее время, которое каждый катер затратил на весь путь, вычисляется по формуле $T = \frac{S}{v}$:

$T_1 = \frac{150}{v_1}$

$T_2 = \frac{150}{v_2}$

По условию задачи, первый катер прибыл в пункт В на 1 ч 15 мин позже, чем второй в пункт А. Переведем это время в часы: $1$ ч 15 мин $= 1 + \frac{15}{60}$ ч $= 1 + \frac{1}{4}$ ч $= 1,25$ часа. Таким образом, разница во времени составляет:

$T_1 - T_2 = 1,25$

Подставим выражения для $T_1$ и $T_2$ в это уравнение:

$\frac{150}{v_1} - \frac{150}{v_2} = 1,25$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 100 \\ \frac{150}{v_1} - \frac{150}{v_2} = 1,25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2 = 100 - v_1$ и подставим во второе уравнение:

$\frac{150}{v_1} - \frac{150}{100 - v_1} = 1,25$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$150 \left( \frac{100 - v_1 - v_1}{v_1(100 - v_1)} \right) = 1,25$

$150 \cdot \frac{100 - 2v_1}{100v_1 - v_1^2} = 1,25$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$150(100 - 2v_1) = 1,25(100v_1 - v_1^2)$

$15000 - 300v_1 = 125v_1 - 1,25v_1^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$1,25v_1^2 - 425v_1 + 15000 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 4:

$5v_1^2 - 1700v_1 + 60000 = 0$

Теперь разделим уравнение на 5:

$v_1^2 - 340v_1 + 12000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-340)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000 = 115600 - 48000 = 67600$

$\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$

Найдем два возможных значения для $v_1$:

$v_{1,1} = \frac{-(-340) + 260}{2 \cdot 1} = \frac{340 + 260}{2} = \frac{600}{2} = 300$ км/ч.

$v_{1,2} = \frac{-(-340) - 260}{2 \cdot 1} = \frac{340 - 260}{2} = \frac{80}{2} = 40$ км/ч.

Проверим оба варианта. Если $v_1 = 300$ км/ч, то $v_2 = 100 - 300 = -200$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому это решение не имеет физического смысла.

Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 100 - 40 = 60$ км/ч. Оба значения скорости положительны, поэтому это решение является верным.

Итак, скорость первого катера $v_1 = 40$ км/ч, а скорость второго катера $v_2 = 60$ км/ч.

Теперь найдем, сколько времени был в пути каждый катер:

Время в пути первого катера: $T_1 = \frac{150}{v_1} = \frac{150}{40} = 3,75$ часа.
Переведем в часы и минуты: $3,75$ ч $= 3$ часа и $0,75 \cdot 60 = 45$ минут. То есть 3 часа 45 минут.

Время в пути второго катера: $T_2 = \frac{150}{v_2} = \frac{150}{60} = 2,5$ часа.
Переведем в часы и минуты: $2,5$ ч $= 2$ часа и $0,5 \cdot 60 = 30$ минут. То есть 2 часа 30 минут.

Ответ: первый катер был в пути 3 часа 45 минут, второй катер — 2 часа 30 минут.

484 Соединили два раствора одной и той же кислоты разной концентрации и получили 10 кг нового раствора данной кислоты. Концентрация первого раствора (т. е. процентное содержание кислоты) на 10% больше концентрации второго раствора. Определите массу каждого раствора, если в первом содержалось 0,8 кг кислоты, а во втором — 0,6 кг. Определите процентное содержание кислоты в каждом растворе.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго растворов соответственно (в кг).
• $m_{к1}$ и $m_{к2}$ — массы кислоты в первом и втором растворах соответственно (в кг).
• $C_1$ и $C_2$ — концентрации (процентное содержание кислоты в долях) первого и второго растворов.

Из условия задачи нам известно:

• Масса кислоты в первом растворе $m_{к1} = 0,8$ кг.
• Масса кислоты во втором растворе $m_{к2} = 0,6$ кг.
• Общая масса полученного раствора: $m_1 + m_2 = 10$ кг.
• Концентрация первого раствора на 10% больше концентрации второго. В долях это записывается как: $C_1 = C_2 + 0,1$.

Концентрация раствора вычисляется по формуле: $C = \frac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}$.

Следовательно, для наших растворов:

$C_1 = \frac{m_{к1}}{m_1} = \frac{0,8}{m_1}$

$C_2 = \frac{m_{к2}}{m_2} = \frac{0,6}{m_2}$

Подставим эти выражения в уравнение, связывающее концентрации:

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{0,6}{m_2} + 0,1$

Из уравнения для общей массы выразим $m_2$ через $m_1$: $m_2 = 10 - m_1$.

Подставим $m_2$ в уравнение для концентраций:

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{0,6}{10 - m_1} + 0,1$

Для решения этого уравнения приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{0,6 + 0,1(10 - m_1)}{10 - m_1}$

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{0,6 + 1 - 0,1m_1}{10 - m_1}$

$\frac{0,8}{m_1} = \frac{1,6 - 0,1m_1}{10 - m_1}$

Используем правило пропорции (перекрестное умножение):

$0,8(10 - m_1) = m_1(1,6 - 0,1m_1)$

$8 - 0,8m_1 = 1,6m_1 - 0,1m_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0,1m_1^2 - 1,6m_1 - 0,8m_1 + 8 = 0$

$0,1m_1^2 - 2,4m_1 + 8 = 0$

Умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$m_1^2 - 24m_1 + 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$

Найдем корни уравнения:

$m_1 = \frac{-(-24) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 \pm 16}{2}$

Получаем два возможных значения для $m_1$:

$m_{1,1} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$m_{1,2} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Проверим найденные значения. Если $m_1 = 20$ кг, то масса второго раствора $m_2 = 10 - 20 = -10$ кг. Масса не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит.

Если $m_1 = 4$ кг, то масса второго раствора $m_2 = 10 - 4 = 6$ кг. Это решение является физически возможным.

Ответ: масса первого раствора — 4 кг, масса второго раствора — 6 кг.

Зная массы каждого раствора, найдем их концентрации.

Концентрация первого раствора:

$C_1 = \frac{0,8 \text{ кг}}{4 \text{ кг}} = 0,2$

В процентах это составляет: $0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Концентрация второго раствора:

$C_2 = \frac{0,6 \text{ кг}}{6 \text{ кг}} = 0,1$

В процентах это составляет: $0,1 \cdot 100\% = 10\%$.

Проверка: $20\% - 10\% = 10\%$, что соответствует условию задачи.

Ответ: процентное содержание кислоты в первом растворе — 20%, во втором растворе — 10%.

485 В одном куске сплава 6 кг меди, а в другом — 12 кг. Процентное содержание меди в первом сплаве на $40\%$ меньше, чем во втором. Если эти два куска сплавить в один, то получится сплав, содержащий $36\%$ меди. Определите процентное содержание меди в каждом из сплавов.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго кусков сплава соответственно (в кг).
• Пусть $x$ — концентрация меди (в долях единицы) во втором сплаве.
• По условию, процентное содержание меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Следовательно, концентрация меди в первом сплаве равна $x - 0.4x = 0.6x$.

Нам даны массы меди в каждом из сплавов:

• Масса меди в первом сплаве: 6 кг.
• Масса меди во втором сплаве: 12 кг.

Масса всего сплава равна массе меди, деленной на ее концентрацию. Выразим массы каждого из кусков сплава:

Масса первого сплава: $m_1 = \frac{6}{0.6x}$ кг.

Масса второго сплава: $m_2 = \frac{12}{x}$ кг.

Когда эти два куска сплавили, получился новый сплав. Найдем его общую массу и общую массу меди в нем:

• Общая масса меди: $6 \text{ кг} + 12 \text{ кг} = 18 \text{ кг}$.
• Общая масса нового сплава: $M_{общ} = m_1 + m_2 = \frac{6}{0.6x} + \frac{12}{x}$.

Концентрация меди в полученном сплаве составляет 36%, что в долях равно 0.36. Мы можем составить уравнение, используя формулу концентрации:

$\frac{\text{Общая масса меди}}{\text{Общая масса сплава}} = 0.36$

Подставим известные значения и выражения:

$\frac{18}{\frac{6}{0.6x} + \frac{12}{x}} = 0.36$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала упростим выражение в знаменателе:

$\frac{6}{0.6x} + \frac{12}{x} = \frac{10}{x} + \frac{12}{x} = \frac{22}{x}$

Подставим упрощенный знаменатель обратно в уравнение:

$\frac{18}{\frac{22}{x}} = 0.36$

Упростим левую часть:

$\frac{18x}{22} = 0.36$

Теперь выразим $x$:

$18x = 0.36 \cdot 22$

$x = \frac{0.36 \cdot 22}{18}$

$x = 0.02 \cdot 22$

$x = 0.44$

Мы нашли концентрацию меди во втором сплаве. В процентах это будет $0.44 \cdot 100\% = 44\%$.

Теперь найдем концентрацию меди в первом сплаве:

$0.6x = 0.6 \cdot 0.44 = 0.264$

В процентах это составляет $0.264 \cdot 100\% = 26.4\%$.

Ответ: процентное содержание меди в первом сплаве — 26,4%, во втором сплаве — 44%.

486 Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна $148 \text{ см}^2$, а высота на 1 см меньше длины и на 2 см меньше ширины.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$S = 2(ab + ac + bc)$

Согласно условию задачи, площадь поверхности равна $148 \text{ см}^2$. Следовательно:
$2(ab + ac + bc) = 148$

Также из условия известно, что высота на 1 см меньше длины и на 2 см меньше ширины. Выразим длину и ширину через высоту $c$:
Высота на 1 см меньше длины: $c = a - 1 \implies a = c + 1$
Высота на 2 см меньше ширины: $c = b - 2 \implies b = c + 2$

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ в формулу площади поверхности, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $c$:
$2((c+1)(c+2) + (c+1)c + (c+2)c) = 148$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$(c+1)(c+2) + c(c+1) + c(c+2) = 74$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(c^2 + 2c + c + 2) + (c^2 + c) + (c^2 + 2c) = 74$

Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 + c^2 + c^2) + (2c + c + c + 2c) + 2 = 74$
$3c^2 + 6c + 2 = 74$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3c^2 + 6c + 2 - 74 = 0$
$3c^2 + 6c - 72 = 0$

Разделим все коэффициенты уравнения на 3:
$c^2 + 2c - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-24$, а их сумма равна $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и -6.
Таким образом, корни уравнения: $c_1 = 4$ и $c_2 = -6$.

Так как высота параллелепипеда (как и любое его измерение) не может быть отрицательной величиной, корень $c_2 = -6$ не является решением задачи. Следовательно, высота параллелепипеда равна $4$ см.

Теперь, зная высоту, найдем остальные измерения:
Длина: $a = c + 1 = 4 + 1 = 5$ см
Ширина: $b = c + 2 = 4 + 2 = 6$ см

Проверим правильность найденных измерений, подставив их в формулу площади поверхности:
$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 4) = 2(30 + 20 + 24) = 2 \cdot 74 = 148 \text{ см}^2$.
Полученное значение совпадает с условием задачи, следовательно, измерения найдены верно.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 5 см и 6 см.