Номер 481, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 481, страница 191.

481 Дорога от дома до школы состоит из двух участков: 300 м подъёма и 600 м спуска. Дорога от дома до школы занимает у Дениса 16 мин, а обратная дорога — 17 мин. Определите скорость Дениса на подъёме и на спуске.

Пусть $v_п$ — скорость Дениса на подъёме (в м/мин), а $v_с$ — скорость Дениса на спуске (в м/мин).

Дорога от дома до школы состоит из 300 м подъёма и 600 м спуска. Время в пути составляет 16 минут. Используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость, составим первое уравнение:

$\frac{300}{v_п} + \frac{600}{v_с} = 16$

Обратная дорога от школы до дома состоит из 600 м подъёма (бывший спуск) и 300 м спуска (бывший подъём). Время в пути составляет 17 минут. Составим второе уравнение:

$\frac{600}{v_п} + \frac{300}{v_с} = 17$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для удобства решения сделаем замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{v_п}$ и $y = \frac{1}{v_с}$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} 300x + 600y = 16 & (1) \\ 600x + 300y = 17 & (2) \end{cases} $

Сложим уравнения (1) и (2):

$(300x + 600y) + (600x + 300y) = 16 + 17$

$900x + 900y = 33$

Разделим обе части на 900:

$x + y = \frac{33}{900} = \frac{11}{300}$

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(600x + 300y) - (300x + 600y) = 17 - 16$

$300x - 300y = 1$

Разделим обе части на 300:

$x - y = \frac{1}{300}$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = \frac{11}{300} \\ x - y = \frac{1}{300} \end{cases} $

Сложим эти два новых уравнения:

$(x + y) + (x - y) = \frac{11}{300} + \frac{1}{300}$

$2x = \frac{12}{300} = \frac{1}{25}$

$x = \frac{1}{50}$

Подставим значение $x$ в уравнение $x + y = \frac{11}{300}$:

$\frac{1}{50} + y = \frac{11}{300}$

$y = \frac{11}{300} - \frac{1}{50} = \frac{11}{300} - \frac{6}{300} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$

Теперь вернёмся к исходным переменным, зная, что $v_п = \frac{1}{x}$ и $v_с = \frac{1}{y}$:

$v_п = \frac{1}{1/50} = 50$ м/мин.

$v_с = \frac{1}{1/60} = 60$ м/мин.

Проверим найденные значения:

Время до школы: $\frac{300}{50} + \frac{600}{60} = 6 + 10 = 16$ минут. (Верно)

Время до дома: $\frac{600}{50} + \frac{300}{60} = 12 + 5 = 17$ минут. (Верно)

Ответ: скорость Дениса на подъёме составляет 50 м/мин, а на спуске — 60 м/мин.