Номер 488, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 488, страница 194.

488 Запишите уравнения вида $f(x) = g(x)$, графические решения которых приведены на рисунке 3.22, а, б. В каждом случае найдите корни уравнения.

Для решения этой задачи необходимо видеть графики, представленные на рисунке 3.22, а, б, в. Так как эти изображения отсутствуют, я приведу общий алгоритм решения и примеры, как это могло бы выглядеть.

Общий алгоритм:

1. Определить вид каждой из двух функций, графики которых изображены на рисунке (например, линейная функция $y=kx+b$, квадратичная $y=ax^2+bx+c$, функция корня $y=\sqrt{x}$ и т.д.).
2. Найти уравнения этих функций, $y=f(x)$ и $y=g(x)$, используя характерные точки на графике (точки пересечения с осями, вершина параболы и т.д.).
3. Записать итоговое уравнение вида $f(x)=g(x)$.
4. Найти абсциссы (координаты $x$) всех точек пересечения графиков. Эти значения и являются корнями уравнения.

Ниже представлены решения для каждого пункта на гипотетических примерах.

а)

Предположим, на рисунке 3.22(а) изображены графики параболы и прямой.

1. Пусть один график — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -1)$. Это график функции $f(x) = x^2 - 1$.

2. Второй график — прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(2, 3)$. Угловой коэффициент $k = \frac{3-1}{2-0} = 1$. Уравнение прямой: $g(x) = x + 1$.

3. Составляем уравнение $f(x) = g(x)$: $x^2 - 1 = x + 1$.

4. Находим корни. Из графика видно, что точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Проверим алгебраически:
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.

Ответ: Уравнение: $x^2 - 1 = x + 1$. Корни: $-1; 2$.

б)

Предположим, на рисунке 3.22(б) изображены графики функции квадратного корня и прямой.

1. Пусть один график — это функция квадратного корня, выходящая из начала координат, $f(x) = \sqrt{x}$.

2. Второй график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$. Ее уравнение: $g(x) = 2$.

3. Составляем уравнение $f(x) = g(x)$: $\sqrt{x} = 2$.

4. Находим корень. Из графика видно, что точка пересечения одна, и ее абсцисса равна $x = 4$.
Проверим алгебраически:
$\sqrt{x} = 2$
Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 2^2$
$x = 4$.

Ответ: Уравнение: $\sqrt{x} = 2$. Корень: $4$.

в)

Предположим, на рисунке 3.22(в) изображены графики гиперболы и прямой.

1. Пусть один график — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях и проходящая через точки $(1, 6)$ и $(2, 3)$. Это график функции $f(x) = \frac{6}{x}$.

2. Второй график — прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, 1)$. Ее уравнение: $g(x) = x$.

3. Составляем уравнение $f(x) = g(x)$: $\frac{6}{x} = x$.

4. Находим корни. Из графика видно, что точки пересечения имеют абсциссы, которые примерно равны $x_1 \approx -2.4$ и $x_2 \approx 2.4$.
Проверим алгебраически:
$\frac{6}{x} = x$
$x^2 = 6$ (при условии $x \neq 0$)
$x = \pm\sqrt{6}$.
Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, графическая оценка верна.

Ответ: Уравнение: $\frac{6}{x} = x$. Корни: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.