Номер 493, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 493, страница 196.

493 Найдите с помощью графиков приближённые значения корней уравнений:

$x^2 - x - 3 = 0$, $x^2 + 2x - 2 = 0$, $\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$, $3 - x - 3x^2 = 0$.

Указание.

Представьте каждое уравнение в виде $x^2 = ax + b$ и выполните задание, построив в системе координат одну параболу $y = x^2$ и несколько прямых. Воспользуйтесь миллиметровой бумагой.

Для решения уравнений графическим методом, представим каждое из них в виде $x^2 = ax + b$. Это позволит нам найти корни как абсциссы точек пересечения двух графиков: параболы $y = x^2$ и прямой $y = ax + b$.

Сначала построим в одной системе координат график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Для построения возьмем несколько точек:

• $x = 0, y = 0^2 = 0 \rightarrow (0, 0)$
• $x = 1, y = 1^2 = 1 \rightarrow (1, 1)$
• $x = -1, y = (-1)^2 = 1 \rightarrow (-1, 1)$
• $x = 2, y = 2^2 = 4 \rightarrow (2, 4)$
• $x = -2, y = (-2)^2 = 4 \rightarrow (-2, 4)$
• $x = 3, y = 3^2 = 9 \rightarrow (3, 9)$
• $x = -3, y = (-3)^2 = 9 \rightarrow (-3, 9)$

Теперь для каждого уравнения построим соответствующую прямую и найдем точки ее пересечения с параболой $y = x^2$.

На графике изображены:
- Парабола $y = x^2$ (черная)
- Прямая $y = x + 3$ (красная)
- Прямая $y = -2x + 2$ (синяя)
- Прямая $y = 2x + 2$ (зеленая)
- Прямая $y = -\frac{1}{3}x + 1$ (фиолетовая)

$x^2 - x - 3 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^2 = ax + b$:
$x^2 = x + 3$.
Теперь нам нужно найти абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = x + 3$. Построим прямую $y = x + 3$ (на общем графике она красного цвета). Для этого найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Точка (0, 3).
Если $x=-3$, то $y = -3 + 3 = 0$. Точка (-3, 0).
Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. Из графика видно, что точки пересечения имеют абсциссы приблизительно $x_1 \approx -1.3$ и $x_2 \approx 2.3$.
Ответ: $x_1 \approx -1.3, x_2 \approx 2.3$.

$x^2 + 2x - 2 = 0$

Преобразуем уравнение:
$x^2 = -2x + 2$.
Ищем абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2x + 2$. Построим прямую $y = -2x + 2$ (на общем графике она синего цвета). Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0, 2).
Если $x=1$, то $y = -2 \cdot 1 + 2 = 0$. Точка (1, 0).
Из графика находим абсциссы точек пересечения: $x_1 \approx -2.7$ и $x_2 \approx 0.7$.
Ответ: $x_1 \approx -2.7, x_2 \approx 0.7$.

$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$

Сначала умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
$x^2 - 2x - 2 = 0$.
Теперь преобразуем к нужному виду:
$x^2 = 2x + 2$.
Ищем абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 2$. Построим прямую $y = 2x + 2$ (на общем графике она зеленого цвета). Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0, 2).
Если $x=-1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 2 = 0$. Точка (-1, 0).
Из графика находим абсциссы точек пересечения: $x_1 \approx -0.7$ и $x_2 \approx 2.7$.
Ответ: $x_1 \approx -0.7, x_2 \approx 2.7$.

$3 - x - 3x^2 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде:
$-3x^2 - x + 3 = 0$.
Разделим все уравнение на -3:
$x^2 + \frac{1}{3}x - 1 = 0$.
Преобразуем к виду $x^2 = ax + b$:
$x^2 = -\frac{1}{3}x + 1$.
Ищем абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Построим прямую $y = -\frac{1}{3}x + 1$ (на общем графике она фиолетового цвета). Найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка (0, 1).
Если $x=3$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка (3, 0).
Из графика находим абсциссы точек пересечения: $x_1 \approx -1.2$ и $x_2 \approx 0.8$.
Ответ: $x_1 \approx -1.2, x_2 \approx 0.8$.