Номер 496, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 496, страница 196.

496 Выберите из данных промежутков:

$[1; 2]$, $[1; 1.5]$, $[1.5; 2]$, $[1; 1.2]$, $[1.2; 1.5]$ — те промежутки, которым принадлежит корень уравнения

$x^3 = 4 - x^2$.

Для решения задачи преобразуем данное уравнение к виду $f(x) = 0$ и воспользуемся теоремой о промежуточном значении (следствием из теоремы Больцано — Коши). Если непрерывная на отрезке $[a; b]$ функция $f(x)$ принимает на его концах значения разных знаков, то есть $f(a) \cdot f(b) < 0$, то внутри этого отрезка существует по крайней мере один корень уравнения $f(x) = 0$.

Исходное уравнение: $x^3 = 4 - x^2$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^3 + x^2 - 4 = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x^2 - 4$. Эта функция является многочленом и непрерывна на всей числовой оси. Проверим знаки функции на концах каждого из предложенных промежутков.

Проверка промежутка [1; 2]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1) = 1^3 + 1^2 - 4 = 1 + 1 - 4 = -2$
$f(2) = 2^3 + 2^2 - 4 = 8 + 4 - 4 = 8$
Так как $f(1) < 0$ и $f(2) > 0$, значения функции на концах промежутка имеют разные знаки. Следовательно, на интервале (1; 2) есть корень уравнения.
Ответ: промежутку [1; 2] принадлежит корень уравнения.

Проверка промежутка [1; 1,5]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1) = -2$ (уже вычислено)
$f(1,5) = (1,5)^3 + (1,5)^2 - 4 = 3,375 + 2,25 - 4 = 5,625 - 4 = 1,625$
Так как $f(1) < 0$ и $f(1,5) > 0$, значения функции имеют разные знаки. Следовательно, на интервале (1; 1,5) есть корень.
Ответ: промежутку [1; 1,5] принадлежит корень уравнения.

Проверка промежутка [1,5; 2]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1,5) = 1,625$ (уже вычислено)
$f(2) = 8$ (уже вычислено)
Так как $f(1,5) > 0$ и $f(2) > 0$, значения функции имеют одинаковый знак. Это не гарантирует отсутствие корня, но так как производная $f'(x) = 3x^2 + 2x$ положительна при $x>0$, функция на этом промежутке строго возрастает. Поэтому корень на данном промежутке отсутствует.
Ответ: промежутку [1,5; 2] не принадлежит корень уравнения.

Проверка промежутка [1; 1,2]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1) = -2$
$f(1,2) = (1,2)^3 + (1,2)^2 - 4 = 1,728 + 1,44 - 4 = 3,168 - 4 = -0,832$
Так как $f(1) < 0$ и $f(1,2) < 0$, значения функции имеют одинаковый знак. Поскольку функция на этом промежутке возрастает, корень на нем отсутствует.
Ответ: промежутку [1; 1,2] не принадлежит корень уравнения.

Проверка промежутка [1,2; 1,5]
Найдем значения функции на концах промежутка:
$f(1,2) = -0,832$ (уже вычислено)
$f(1,5) = 1,625$ (уже вычислено)
Так как $f(1,2) < 0$ и $f(1,5) > 0$, значения функции имеют разные знаки. Следовательно, на интервале (1,2; 1,5) есть корень.
Ответ: промежутку [1,2; 1,5] принадлежит корень уравнения.

Таким образом, корень уравнения $x^3 = 4 - x^2$ принадлежит следующим промежуткам из предложенного списка: [1; 2], [1; 1,5], [1,2; 1,5].